2022-2023学年河南省商丘市胡襄镇联合中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年河南省商丘市胡襄镇联合中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.若关于x的方程（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e） D．（1，）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=|x﹣2|ex，则方程有6解等价于g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，判断g（x）的单调性得出g（x）=t的根的分布情况，得出方程t2﹣2at+a=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出a的范围．【解答】解：∵（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，∴（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0，令g（x）=|x﹣2|ex=，则g′（x）=，∴当x≥2或x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x=1时，g（x）取得极大值t（1）=e，又x→﹣∞时，g（x）→0，g（2）=0，x→+∞时，g（x）→+∞，作出g（x）的函数图象如图所示：令g（x）=t，由图象可知：当0＜t＜e时，方程g（x）=t＜有3解；当t=0或t＞e时，方程g（x）=t有1解；当t=e时，方程g（x）=t有2解；当t＜0时，方程g（x）=t无解．∵方程（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0有6解，即g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，∴关于t的方程t2﹣2at+a=0在（0，e）上有2解，∴，解得1＜a＜．故选D．3.已知是虚数单位，，则“”是“”的（

）A.充分必要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4.定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3） B．3f（4）＜4f（3） C．2f（3）＜3f（4） D．f（2）＜2f（1）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】依题意，f′（x）＜0，?＞0?[]′＜0，利用h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案．【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，∴f′（x）＜0，又∵＞x，∴＞0?＜0?[]′＜0，设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∵＞x＞0，f′（x）＜0，∴f（x）＜0．∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∴＞?＞0?2f（3）﹣3f（2）＞0?2f（3）＞3f（2），故A正确；由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；1?f（2）＞2f（1），排除D；故选A．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，求得[]′＜0是关键，考查等价转化思想与分析推理能力，属于中档题．5.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系：相切，确定抛物线y2=2px的焦点，设直线AB的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得AB的中点M的纵坐标为，由条件即可得到p=4．【解答】解：取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心N到准线的距离等于半径，即有以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由M的纵坐标为2，即N的纵坐标为2，抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），设直线AB的方程为y=2（x﹣），即x=y+，与抛物线方程y2=2px联立，消去x，得y2﹣py﹣p2=0由韦达定理可得AB的中点N的纵坐标为，即有p=4，故选C．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．6.已知集合，，则集合

A．{－4,－1,1,4}

B．{－2,1,4}

C．{1,4}

D．{－4,－1,2}参考答案：B7.已知表示不同的平面，表示不同的直线，给出以下命题：

①；②；③；

④.在这四个命题中，正确的命题是

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④参考答案：B8.将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[kπ－π，kπ+]（k∈Z）

B．[kπ－π，kπ－]（k∈Z）C．[4kπ－π，kπ－]（k∈Z） D．[4kπ－，kπ+]（k∈Z）

参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos（ωx+φ）图象；再向右平移个单位长度，得到y=cos[ω（x﹣）+φ]=cos（ωx﹣?ω+φ）的图象，而由已知可得，得到的是函数y=cosx的图象，∴=1，∴ω=2；再根据﹣?2+φ=2kπ，k∈Z，∴φ=，f（x）=cos（2x+）．令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故选：B．9.已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（） A． （1，+∞） B． （﹣∞，﹣1） C． （﹣1，1） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．专题： 计算题．分析： 构造函数g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答： 解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集?g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故选A．点评： 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．10.已知向量a=（x－l，2），b=（4，y），若a⊥b，则的最小值为

。参考答案：6因为，所以，即，所以，所以的最小值为6.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是

.(结果用最简分数表示)参考答案：12.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为

．参考答案：x+2y?z?2＝013.若对于任意的实数x∈(0，]，都有2﹣2x﹣logax＜0恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：＜a＜1

【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得，时，函数y=2﹣2x的图象在函数y=logax的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得＜loga，解此对数不等式求得a的范围【解答】解：若对于任意的实数，都有2﹣2x﹣logax＜0恒成立，即对于任意的实数，都有logax＞2﹣2x恒成立，则y=logax的图象恒在y=图象的上方，∴0＜a＜1．再根据它们的单调性可得＜loga，即＞，∴a＞，综上可得，＜a＜1，故答案为：＜a＜114.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3﹣a6=0，则=

．参考答案：28【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．15.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为

参考答案：

16.袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字，随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望是_______；（2）当时的概率是_______。参考答案：、解：，。可以求得随机变量的分布列如表所示，期望为。当时的概率是0124p

17.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.参考答案：,如图，,，所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设．(I)求f(x)的最大值和最小正周期；(Ⅱ)若锐角满足，求的值．参考答案：19.（2017?平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．20.已知矩阵的一个特征值是，求矩阵的另一个特征值，及属于的一个特征向量。参考答案：解：矩阵的特征多项式是，由得，令，则或，解方程组可得一组不为零的解是所以矩阵的另一个特征值是，属于的一个特征向量是．略21.（本小题满分12分）

在中，分别是内角的对边，且（1）求（2）设函数，将的图象向左平移后得到函数的图象，求函数的单调递增区间。参考答案：22.（15分）（2015?天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M?[1，4]，求实数a的范围．参考答案：考点：集合关系中的参数取值问题．

专题：计算题．分析：M?[1，4]有两种情况：其一是M=?，此时△＜0；其二是M≠?，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M?[1，4]有两种情况：其一是M=?，此时△＜0；其二是M≠?，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围．设f（x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=??[