上海上海外国语大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题

上海市上海外国语大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:姓名：班级：一、填空题.已知复数z=3—2，，则复数—z=.2i.已知复数z二—，则复数z的实部和虚部之和为.1—I.抛物线y=2X2的准线方程为..设z是复数，aQ）表示满足zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i,a（，）=（3+4i）G-姮，）.已知复数z=（3+，%+2，），那么复数z的模为..已知抛物线产=2px（p＞。）的准线与圆（x—3、+y2=16相切，则P的值为.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆焦距与长轴之比的比值是..已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF=2，则BF.已知复数a+bi（a,b为常数，a,b£R）是复数z的一个平方根，那么复数—的两个平方根为..已知点A（—3。）,B（3,0），若直线上存在点p，使得|AP|+|BP|=10,则称该直4线为“M型直线”给出下列直线：（1）y=x+5；（2）x+2y—12=0；（3）y=3x；

2x-3y+12=0其中所有是“M型直线”的序号为.点P^%0,y°）满足0<曰+y;<1,则.点P^%0,y°）满足0<曰+y;<1,则.已知圆C：上+y2=1的两焦点为F,F2PF1I+lPF2I的取值范围为..如果曲线c上的动点P到定点Q0的距离存在最小值，则称此最小值为点Q0到曲线C的距离.若点Q(x，y)到圆(X—2»+y2=1的距离等于它到直线x+1=0的距离，则点Q(x,y)的轨迹方程是..已知抛物线C：y2=8x，点F是它的焦点，对于过点A(a,0)且与抛物线C有两个不同公共点M,N的任一直线都有FM•FN<0，则实数a的取值范围是二、单选题.设meR，复数工=3m2-5m+2+由^m)，则z在复平面内的对应点一定不在TOC\o"1-5"\h\z()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.已知F、F2为双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，ZFPF2=600,则P到x轴的距离为A.整B.当C.<3D.J6p—1.已知复平面内的圆M：Z-2=1，若一^为纯虚数，则与复数P对应的点P()p+1A.必在圆M外B.必在M上C.必在圆M内D.不能确定x2.若点O和点F(-2,0)分别是双曲线--y2=1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲a2线右支上的任意一点，则OP,FP的取值范围为()一一77A.[3-2<3,+8)B.[3+23+/)C.[--,+s)D.[4,+8)三、解答题.椭圆C经过点Q(2,3)，对称轴为坐标轴，且点F(2，0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程..已知复数工=a+bi(a,b为正实数，i是虚数单位)是方程元2—4元+5=0的一个根.(1)求此方程的另一个根Z1及的值；(2)复数攻=u+3i(ueR)满足|w—z|<2否，求u的取值范围..设a,beR，已知\,x2为关于x的二次方程X2+2ax+b=0两个不同的虚根，(1)若b=2，求实数a的取值范围；,一xx-(2)若x—x=2,—+T=1，求实数a,b的值.121xx21x2y2.已知P,Q是双曲线E：一—二二1(a、b为常数，b>a>0)上的两个不同a2b2点，O是坐标原点，且0P工OQ,(1)若AOPQ是等腰三角形，且它的重心是双曲线的右顶点，求双曲线E的渐近线方程；(2)求AOPQ面积的最小值..已知抛物线E：y2=2px(p>0)，点Q为直线x=-2p上任一点，过点Q作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,(1)证明A,Q,B三点的纵坐标成等差数列；(2)已知当点Q坐标为(—2p,2)时，|AB|=12，求此时抛物线E的方程；(3)是否存在点Q,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线E上，其中点C满足0C=0A+0B，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.参考答案1.-3—2i【分析】根据共轭复数的表示方法算出-z即可.【详解】由z=3-2i,则z=3+2i,所以-z=-3-2i故答案为：-3-2i【点睛】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题型.2.0【分析】先化简求得z再计算实部和虚部的和即可.【详解】2i2i（1+i）1.z=匚i：=（1_i）0+i）=-1+i,故实部和虚部之和为i-i=0.故答案为：0【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.13y=---8【分析】先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程.【详解】1因为抛物线y=2x2的标准方程为：x2=y,1因此其准线方程为：y=--.81故答案为y=--8【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.4．4【分析】逐个计算in即可.【详解】由题，因为i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,故a(i)=4.故答案为：4【点睛】本题主要考查新定义与复数的基本运算,属于基础题型.5.<5【分析】由模长性质求解即可.【详解】(3+4i)(’2八二i)一|3+4i|・2—、/'2i|5x21-因为么=-6"^—)，故同=尸—j-.=~—==邪.\/3+i人1+2i)33+i-1+2i|2x55故答案为：三【点睛】本题主要考查模长的性质，若乙=三,则|z|二区.若z=z•z厕|z|=|z|•|z|.属于基础题型.z2lz2I-126.2【解析】pp抛物线的准线为X=-y，与圆相切，则3+y=4,p=2.乙乙35【分析】根据椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,列出关于a，b，。的关系式再求解即可.【详解】设椭圆长轴长2a,短轴的长2b,焦距为2c,则有2x2b=2a+2。，故2b=a+j所以C2^C-~TOC\o"1-5"\h\z4b2=a2+c2+2ac=4a2一4c2,故a2+c2+2ac=4a2-4c2,化间得5—+2—=3,即a2a,5c^.,ccc33(——3)(—+1)=0,故一=-,故椭圆焦距与长轴之比的比值是］.aaa553故答案为：5【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量的基本关系与离心率的计算，属于基础题型.2【解析】试题分析：焦点坐标(L0)，准线方程1=-1,由IAFI=2可知点A到准线的距离为2,...X=1A所以AF1x轴，/.|BF|=|AF|=2考点：抛物线定义及直线与抛物线相交的弦长问题点评：抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，依据定义可实现两个距离的转化ai一b,一ai+b【分析】由题可知(a+bi)=z，再对-z开根号求一的两个平方根即可.【详解】由题(a+bi)=z，故-(a+bi)=-z=i2(a+bi)=Qi+bi2)=(ai-b),即-z=(ai-b\,故复数一z的两个平方根为ai-b与—ai+b故答案为：ai-b,-ai+b【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，运用i2=-1即可联系-z与(a+bi)=z的关系，属于基础题型.(1)(3)(4)【分析】

由题可得若|^^|+B^P\=10则P是在以A(—3,0),B(3,0)为焦点,2a=10的椭圆C上.故“M型直线”必与椭圆C相交,再判断直线与椭圆是否相交即可.【详解】由题可得若|AP|+BP|=10则p是在以A(—3,0),B(3,0)为焦点,2a=10的椭圆C上.故“M型直线”需与椭圆C相交即可.易得C：X2+y2=1.左右顶点为(±5,0)，上下顶点为(0,±4)2516对(1),y=x+5过(—5,0)，满足条件对(2),设椭圆c上的点p(5cose,4sine)厕p到直线x+2y-12=0的距离d二一se*-12二I屈sm（e：⑺-12|,（tan4二5）.<12+22、运8V89sin（V89sin（e+⑺-12若d=\=0,则指9sin（e+w）=12无解.故椭圆C与直线x+2y-12=0不相交.故直线x+2y-12=0不满足.44对(3),y=3x与椭圆C显然相交，故y=3x满足.对(4)，因为2x—3y+12=0过(0,4)，故与椭圆C相交.故2x—3y+12=0满足.故答案为：(1)(3)(4)【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与新定义的问题,判断直线与椭圆的位置关系可设椭圆上的点求点与直线的距离,分析是否可以等于0即可.属于中等题型.[1-2K3【分析】由曲线y=3+J4x-x2，得(x-2)2+(y-3)2=4,0WxW4,直线y=x+b与曲线y=3+\：不£有公共点，圆心(2,3)到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2,由此结合图象能求出实数b的取值范围.【详解】

由曲线y=3+{4x一x2,得(乂-2)2+(y-3)2=4,0<x<4,・「直线y=x+b与曲线y=3+%；4x一x2有公共点，・•・圆心（2,3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2,2—3+b广l即d=——尸一<2n1-2V2<b<1+2V2•.•0<x<4,，x=4代入曲线y=3+\；'4x—x2，得y=3,把（4,3）代入直线y=x+b,得6向『3-4=-1,②联立①②，得-1<b<1+2<2.・.・实数b的取值范围是[-1,1+2”].故答案为卜L1+2V2].【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.12.12.2,2【分析】点P(x,〃)满足。<x2+y2<1则点p(x,〃)在椭圆x2+产=1内,且不包含原点.故根据0020002

椭圆定义再分析即可.【详解】又当Mx。,y°)在线段由题有点P(l>0)在椭圆三+y2=1内，且不包含原点.故|PF|+|又当Mx。,y°)在线段FF2上(不包含原点)时取得最小值2.故IPF1I+IPFJ22.故答案为:一故答案为:一2,2")【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其性质，属于基础题型.y2=8x【分析】易得点Q(羽y)到圆(x—2>+y2=1的距离等于点Q(x,y)到圆心(2,0)的距离减去半径.再求出点Q(x，y)到直线X+1=0的距离列出方程进行化简即可.【详解】由题点Q(x，y)到圆(x-2>+y2=1的距离等于点Q(x，y)到圆心(2,0)的距离减去半径.当x<-1时,显然不能满足点Q(x,y)到圆(x-2»+y2=1的距离等于它到直线x+1=0的距离.故x〉-1，此时\/(x-2)2+y2-1=x-(-1)n\；(x-2)2+y2=x+2,两边平方有(x-2)2+y2=(x+2)2ny2=8x.故答案为：y2=8x【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解方法，重点是列出距离相等的方程，再化简方程即可.属于基础题型.Q-472,6+4K)【分析】设直线的方程为x=ty+a，联立抛物线的方程得出韦达定理，将FM•FN<0翻译成关于点M,N的关系式，再代入韦达定理求解即可.【详解】—,一

设直线的方程为％设直线的方程为％;ty+a，则<y2=8xny2-8ty-8a=0,x=ty+a'3=a264设M(xi,yj,Nx2,y2),F(2，0).则yi+y2=8t，yiy2=3=a26412x+x=t(y+y)+2a=8t2+2a,xx=121212则由FM•FN<0得(x1-2,yi)(x2-2,y2)<0n%x2-町+x2)+4+yiy2V0.代入韦达定理有a2-2(812+2a)+4-8a<0na2-12a+4<1612恒成立.故a2-12a+4<0n6-472<a<6+4j2故答案为：％-4V,2,6+【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,设而不求利用韦达定理翻译题目条件从而进行运算的方法等.属于中等题型.15．C【分析】z在复平面内的对应点考查点Qm2-5m+2,1-m)横纵坐标的正负，分情况讨论即可.【详解】由题得，z在复平面内的对应点为Qm2-5m+2,1-m)当1一m>0,即m<1时,二次函数y=3m2-5m+2=(3m-2)(m-1)取值范围有正有负，故z在复平面内的对应点可以在一二象限.当1-m<0,即m1时,二次函数y=3m2-5m+2=(3m-2)(m-1)>0,故z在复平面内>的对应点可以在第四象限.故z在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.16．B【解析】

本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.a2=e[x--)]=ex

0c:-a2=e[x--)]=ex

0c:-a=<2x-1.由余00|PF|=e[x-(-a)]=a+ex=1+2x.x,|PF|112120c0012212即即cos600弦定理得cosZF1PF2=PF|2+PF|2-1FF|253解得x0=2，所以y02=x2-1=2，故P到x轴(1+%；'2x53解得x0=2，所以y02=x2-1=2，故P到x轴0017．A【分析】p-1设复数p=x+yi,(x,yeR)，再利用为纯虚数求出P对应的点的轨迹方程，再与圆M：p+1z-2=1比较即可.【详解】由题，复平面内圆M：z—PF\\PF1112=1对应的圆是以(2，0)为圆心PF\\PF1112p-1p-1p-1若为纯虚数,则设p=x+yi，(x,yeR),则因为行为纯虚数,可设、=a(aeR,a丰0)故x+y_-=ainx+yi-1=(x+yi+1)ai=(x+1)ai-ayx+yi+1x—1=—ay故I=(x+1)a，因为a丰0,故x丰1.当y=0有x=-1.当y牛0时，两式相除有y(x+1)ax+1-7==———，化简得x2+y2=1.x-1-ayy故复数p对应的点P的轨迹是x2+y2=1,(x丰-1).则x2+y2=1,(x中1)所有的点都在(2,0)为圆心，1为半径的圆M外故选：A【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.18．B【详解】由题意可得c=2,b=1,,故a=J3m2设P(m,n)，则一一n23m24OP•FP=(m,n)•(m+2,n)=m2+2m+n2=m2+2m+——一1=—m2+2m-1关于333m二一4对称，故OP•FP在［%3+⑹上是增函数，当m=<3时有最小值为3+2飞；3,无最大值，故OP•FP的取值范围为［3+2t3,+8),故选B.x2y219．——+—19．1612【分析】由题可先利用定义求椭圆的长轴长，再求椭圆C的标准方程即可.【详解】x2y2由题，设椭圆方程c：一+y~=1,则由椭圆的定义有a2b22a=((2-2)2+32+([2-(一2)]2+32=3+5=8,故a=4,x2y2又c=2,所以b2=a2一c2=16一4=12.所以C:—+二=1.1612x2y2故答案为：--+——=11612【点睛】

本题主要考查利用定义求椭圆的标准方程的方法，属于基础题型.(1)z=2-i,z=也2+12=邪；(2)-2<u<611【分析】⑴先求得了2-4%+5=0的根,再根据题意求另一根Z1即可.(2)根据复数模长的计算表达忸-z|<2V5再求解即可.【详解】(1)%2-4%+5=0n(%-2)2=-1n%二2±i,故z-2+i,Z]=2-i,卜|二J22+12=5y5.(2)由M-z|<2万有|(u+3i)-(2+i)|<2/,即J(u-2)2+(3-1)2<2卮所以-2<u<6,【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长的用法等，属于基础题型.(1)a£(、,,2,-<2)(2)a=±x,,3,b-4【分析】⑴由题可得二次函数y-%2+2a%+b的判别式小于0,列式求解即可.一%%一(2)利用韦达定理代入|%-%J-2可求得a,b的关系，再化简,+了-1利用韦达定理表示,12%%21换成a,b的形式进行求解即可.【详解】(1)由题二次函数y-%2+2a%+2的判别式小于0,故4a2-8<0，解得ae(2)由\,%2为关于%的二次方程%2+2a%+b-0两个不同的虚根可得%1+%2--2a，%%-b，又1%-%-2贝uJ(%+%)2-4%%-2,得Ja2-b-1,因为a2-b<0,故12112*12127」一7」一％%,(%a2-b二一1,又—++--1n—1%%21+%产2%%1:-2%%4a2L-2--1n-3,4a2=3b,

b\a2-b--1Ia-±73故14a2-3bIb-4

【点睛】=2的意义为x1-x2的模长为=2的意义为x1-x2的模长为2,故\一x2=±2%.属于中等题型.3<5a2b2⑴尸±-x;(2)E【分析】⑴根据三角形重心的性质与AOPQ是等腰三角形可求得P,Q的坐标，再代入双曲线方程求解即可.(2)将双曲线E：x2一r=1用极坐标表达，可直接设P(P,9),Q(P,9+g),再利用a2b2122SAOPQ=2P1P2，代入求得关于9的表达式再求最值即可.【详解】⑴当AOPQ是等腰三角形,且它的重心是双曲线的右顶点时,可知P,Q在双曲线的右支上,兀〜、〜、0+n+n3=a,n=—a32，33x2故P(—a,—a)在双曲线——22a0+n+n3=a,n=—a32，33x2故P(—a,—a)在双曲线——22a2y2y21^a—=1上,故12b2-——，可吐二9,即b二学=1a25a5a2故双曲线E的渐近线方程为y=±355x.x2y2x2y2(2)由双曲线E:一-二二1，转换为极坐标则有a2b2(P'os”—(PAn”二1,化简得a2b2a2b2a2b2P2a2b2a2b2P2=V"7；•一，，b2cos29-a2sm29a2b2P2=兀兀b2cos2(9+一)一a2sin2(9+一)22a2b2b2sin29-a2cos29ab故P=/■P1<b2cos29一a2sin29，2abbb2sin29-a2cos29P2=-=〜八、〜八兀、此一包b2cos29-a内加9，设P(P1，9)，q(p2,9+2则有b2a2b21故sAopq-2PRabab一.2\；'b2cos20-1故sAopq-2PRabab一.2\；'b2cos20-a2sin20bb2sin20-a2cos20a2b2a2b22、沏cos20-a2sin20•Jb?sin20-a2cos20b2cos20-a2sin20+b2sin20-a2cos20a2b2，当且仅当b2cos20-a2sin20=b2sin20-a2cos20,b2-a2即(b2-a2)(os20-sin20)=0,即cos20-sin20=0,tan20=1时等号成立.a2b2故AOpQ面积的最小值为b2-a2【点睛】本题主要考查了圆锥曲线中面积的最值问题，因为题中有0P,OQ，故在求AOPQ面积的最小值时,可以考虑用极坐标的方法做进行简化计算,属于难题.(1)证明见解析；(2)w=2<2x；(3)存在一点Q(-2p,。)满足题意.【分析】⑴设4\,yjB(x2,y2)，对y2=2px求导，则可求出在A,B处的切线方程，再联立切线方程分析即可.(2)根据(1)中的切线方程，代入y；=2px「y2=2px2则可得到直线AB的方程，再联立抛物线求弦长列式求解即可.⑶分情况，当d的纵坐标y0=0与y0。0两种情况,求出点C的坐标表达式，再利用AB与CD垂直进行求解分析是否存在即可.【详解】p方程为y-y1=p(x-x])，即x-xi

12p,故x=yyy2———up2p同理在B(x2,y2)处的切线方程为x=yy-□方程为y-y1=p(x-x])，即x-xi

12p,故x=yyy2———up2p同理在B(x2,y2)处的切线方程为x=yy-□p2p联立切线方程有1x=毕—22p2pyyvvv2v2v+vn—二—让,化简得V=1Kz2vvv2联立切线方程有1x=毕—22p2pyyvvv2v2v+vn—二—让,化简得V=1Kz2vvv2pp2p2p2X=-2——2p2p