2022-2023学年山西省朔州市高级职业中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年山西省朔州市高级职业中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），给出以下四个命题：2

?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；②?x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有；③?x1，x2∈（0，1），有；④?x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．其中所有真命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①利用函数奇偶性的定义可判断出?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），可判断①正确；②x∈（﹣1，1），由，可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，可判断②正确；③利用f′（x）=在（0，1）单调递增可判断③正确；④构造函数g（x）=f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，?g（x）在（0，1）单调递增，再利用g（x）=f（x）﹣2x为奇函数，可判断④正确．【解答】解：对于①，∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），且其定义域为（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣=﹣f（x），即①?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），故①是真命题；对于②，∵x∈（﹣1，1），由，可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，即?x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有，故②是真命题；对于③，∵f′（x）=在（0，1）单调递增，∴?x1，x2∈（0，1），有，故③是真命题；对于④，设g（x）=f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，所以g（x）在（0，1）单调递增，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函数性质可知，?x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|，故④是真命题．故选：D．2.已知复数Z满足（i﹣1）=2，则Z=(

) A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算求得，求其共轭复数得答案．解答： 解：由（i﹣1）=2，得，∴Z=﹣1+i．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.如图，已知点为的边上一点，，（）为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则的通项公式为（

）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：因为，所以，设，因为，所以，所以，所以，所以，又，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，故选D．4.已知双曲线的顶点为椭圆的两个焦点，双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．2

参考答案：考点：双曲线和椭圆的几何性质5.Q是有理数集，集合M={-1，0，1}，N={0，1，4}，则M∩(?QN)=A.{0}

B.{-1}

C.{1}

D.{4}参考答案：B6.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)，（A，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则f(x)=（

）A.B.C.D.参考答案：A【分析】由图知，得到A=2，，求出T，根据周期公式求出ω，又y=f(x)的图象经过，代入求出φ，从而得到解析式．【详解】由图知，A=2，，又ω＞0，∴T==，∴ω=4，又y=f(x)的图象经过，∴，k∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ=，∴.故选：A．【点睛】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查识图能力与运算能力，属中档题．8.如图3给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A．

B．

C．

D．参考答案：C该程序框图为求和运算．s=0，n=2，i=1，i10？否；s=0+，n=4，i=2，i10？否；s=0++，n=6，i=3，i10？否；…；s=0+++…+，n=22，i=11，i10？是，输出s=.得C选项．9.设,且,则锐角为A．

B．

C．

D．参考答案：C10.，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15等于________．参考答案：211略12.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为

．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答： 解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．13.设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则＝ .参考答案：14.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：D【知识点】双曲线的简单性质．H6

解析：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥PF2，因为|OM|=a，所以|NF2|=2a

又NF2⊥NF1，|FF2|=2c所以|NF1|=2b设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a-c，过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a-c）+4a2=4（c2-a2），得e2-e-1=0，∴e=．

故选：D【思路点拨】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．15.．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于6的概率为________.参考答案：略16.已知，，那么的值是

_

.参考答案：【知识点】两角和与差的正切公式.C5【答案解析】B解析：解：由题意可得【思路点拨】利用组合角的方法表示出所求的角，再利用公式求解.17.向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数_________.参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知奇函数f(x)在上有意义，且在上单调递减，。又。若集合x取何值时，f(x)<0;参考答案：解法一：解法二：略19.某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28）50.5第2组[28，38）18a第3组[38，48）270.9第4组[48，58）x0.36第5组[58，68）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．参考答案：考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．解答： 解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，…第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，…（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．

…∴P（A）=．…答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…点评：本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．20.（本小题满分13分）如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，∥，，，。（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ）证明：因为是直径，所以

………………1分，因为平面，所以

………………2分，因为，所以平面

………………3分因为，，所以是平行四边形，，所以平面

………4分，因为平面，所以平面平面

………………5分（Ⅱ）依题意，

………………6分，由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立……8分如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，则，，，……………9分设面的法向量为，，即，…………10分设面的法向量为，，即，

……………12分由图知二面角的平面角为钝角二面角的余弦值为。

……13分21.（14分）设数列满足:(1)

令求数列的通项公式；(2)

求数列的前n项和参考答案：解析：（I）因

故{bn}是公比为的等比数列，且

（II）由

注意到可得

记数列的前n项和为Tn，则22.已知椭圆过点(0,1)，且离心率为.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，试证明:直线l过定点并求此定点参考答案：（1）；（2）证明见解析，(1,0).【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意列出方程，求得的值，即可得到椭圆的方程；（2）设方程为，利用向量的坐标运算，求得，，得到，联立方程组，结合根与系