2021年福建省泉州市沼涛中学高二数学理联考试题含解析

2021年福建省泉州市沼涛中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．2.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选C．【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．3.双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为

-

（

）A.

B.

C.

2

D.参考答案：A4.（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．下列各对事件中，为对立事件的是（） A．恰有一名男生和恰有2名男生 B． 至少一名男生和至少一名女生 C．至少有一名男生和与全是女生 D． 至少有一名男生和全是男生参考答案：C5.已知两个不同的平面和两条不重合的直线，则下列命题不正确的是

（

）A.若则

B.若则C.若，，则

D.若,，则参考答案：D6.已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则｜AN｜＋｜BN｜＝（）A．4B．8C．12D．16参考答案：B7.“，”是“双曲线的离心率为”的（

）A.充要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件参考答案：D【分析】当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.【详解】当时，双曲线化为标准方程是，其离心率是；但当双曲线的离心率为时，即的离心率为，则，得，所以不一定非要.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.

8.一条线段AB(|AB|=2a)的两个端点A和B分别在x轴上、y轴上滑动，则线段AB中点M的轨迹方程为（

）A．x2+y2=a2

(x≠0)

B．x2+y2=a2

(y≠0)C．x2+y2=a2

(x≠0且y≠0)

D．x2+y2=a2参考答案：解析：因原点即在x轴上，又在y轴上，故本题无特殊情况，选D.9.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是Ａ.

Ｂ.平面

C.直线∥平面Ｄ.

参考答案：解析：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。解析2：设低面正六边形边长为，则，由平面可知，且，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。10.抛物线y=2x2的准线方程是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】将抛物线方程化为标准方程，确定焦点的位置，从而可求抛物线y=2x2的准线方程．【解答】解：抛物线y=2x2可化为，焦点在y轴上，2p=，∴∴抛物线y=2x2的准线方程是故选D．【点评】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题的关键是将方程化为标准方程，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题：“若x2<1，则－1<x<1”的否命题是

▲

命题。(填“真”或“假”之一)参考答案：真略12.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_________（写出所有正确命题的编号）①；②；③；④；⑤.参考答案：①③⑤略13.已知平面向量，，且，则实数x= ．参考答案：1由题意可得，又因为，所以，解得．

14.某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.参考答案：(1).，

(2).由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD图中长方体中P为棱的中点，到BC的距离为，∴四棱锥体积为，四棱锥的表面积为，故答案为(1)，

(2).15.等比数列中,则的公比的值为______________。参考答案：16.如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为

．参考答案：﹣2【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据题意可得复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，所以复数的实部等于0，但是复数的虚部不等于0，进而可得答案．【解答】解：由题意可得：复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，所以a2+a﹣2=0，a2﹣3a+2≠0，解得a=﹣2．故答案为﹣2．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握复数的有关概念，并且结合正确的运算，高考中一般以选择题或填空题的形式出现，属于基础题型．17.函数y=cos(x+)的最小正周期是

．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知命题实数满足,命题实数满足，若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.参考答案：：由，得，∴记；………………2分由，得，记…….4分∵是的充分不必要条件∴是的充分不必要条件，即且，∴；………6分要使，又，则只需，………10分∴，…………..11分故所求实数的取值范围是…………12分19.已知直线与直线交于点P.（1）求过点P且平行于直线的直线的方程；（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长.参考答案：解：（1）由，

……………2分令，

……………4分将代入得：(直线表示方式不唯一)

……………6分（2）圆心到直线的距离，

………9分所以

……………12分20.数列{bn}（bn＞0）的首项为1，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．（1）求{bn}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）数列{bn}（bn＞0）的首项为1，前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．可得﹣=1，利用等差数列的通项公式可得Sn，再利用递推关系可得bn．（2）==．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵数列{bn}（bn＞0）的首项为1，前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．∴﹣=1，∴数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴Sn=n2．∴n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．（n=1时也成立）．∴bn=2n﹣1．（2）==．∴数列{}前n项和Tn=+…+==．Tn＞即：＞，解得n＞．满足Tn＞的最小正整数为112．21.已知函数，.(1)时，解不等式；(2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.参考答案：解：(1)时，不等式等价于，当时，，解得，综合得：.当时，显然不成立.当时，，解得，综合得.所以的解集是.(2)，，根据题意，解得，或.22.（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，．（1）求、的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）解：，

……（1分）解答

．

…………（3分）（2）由（1）知，

①当时，

①－②，得（），又，

…………（4分