高一数学上学期期中考试试卷含答案

高一数学上学期期中考试试卷含答案

高一上学期期中考试数学试题本试卷共23题，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.考生必须在答题卡和试卷指定位置上填写姓名和考生号，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。2.回答选择题时，请用铅笔把答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后再涂其他答案标号。回答非选择题时，请将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，请将答题卡上交。一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合$A={x|x-2x-8<0}$，$B={x|2x-1>0}$，则$B$的取值为（）A.$(-\infty,-2)$B.$(-2,\frac{1}{2})$C.$(4,+\infty)$D.$(\frac{1}{2},4)$2.函数$f(x)=\frac{4-x}{x-1}$的定义域为（）A.$(-\infty,4]$B.$(-\infty,1)\cup(1,4]$C.$(-\infty,1)\cup(1,4)$D.$(0,4)$3.“$\existsx\in\mathbb{R}$，$x+|x|<$”的否定是（）A.$\forallx\in\mathbb{R}$，$x+|x|\geq0$B.$\forallx\in\mathbb{R}$，$x+|x|\geq1$C.$\forallx\in\mathbb{R}$，$x+|x|<0$D.$\existsx\in\mathbb{R}$，$x+|x|\geq0$4.下列函数既是奇函数又在$(0,+\infty)$上单调递减的是（）A.$y=x$B.$y=x^2$C.$y=x-1$D.$y=x-2$5.“$a\geq4$”是“关于$x$的方程$x-ax+a=0(a\in\mathbb{R})$有实数解”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数$f(x)=\begin{cases}2,&x\leq1\\\frac{1}{x},&x>1\end{cases}$，则$f(f(2))=$（）A.$-4$B.$-\frac{1}{2}$C.$2$D.$8$7.已知$f(x)$为定义在$\mathbb{R}$上的偶函数，当$x\leq0$时，$f(x)=2$，则$f(x)$的值域为（）A.$[1,+\infty)$B.$(0,1)$C.$(0,1]$D.$(-\infty,1]$8.某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：每户每月用水量不超过12m3的部分，水价为3元/m3；超过12m3但不超过18m3的部分，水价为6元/m3；超过18m3的部分，水价为9元/m3。如果一户家庭每月用水20m3，那么这户家庭的水费为多少元？A.60B.78C.90D.1209.已知$a=2$，$b=2$，$c=0.2$，则（）A.$b>a>c$B.$a>b>c$C.$b>c>a$D.$a>c>b$10.一辆汽车从$A$地出发，以每小时60公里的速度行驶，2小时后到达$B$地。之后，又以每小时40公里的速度行驶，3小时后到达$C$地。则$AC$的长度为（）A.200kmB.220kmC.240kmD.260km14.已知函数f(x)=ax-1+1（a>0且a≠1），则函数f(x)的图像恒过点(1,1)。15.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+c/(x+3)，若f(t)=4，则f(-t)=1/4。解析：将x替换为-t，得到f(-t)=a(-t)^3+b(-t)^2+c/(-t+3)=-at^3+bt^2+c/(-t+3)。又因为f(t)=4，所以at^3+bt^2+c/(t+3)=4。将这两个式子联立，解得f(-t)=1/4。16.已知函数f(x)=x+bx+c，若f(1)=f(2)=5，则f(-1)=3。解析：由f(1)=1+b+c=5，f(2)=2b+c+5=5可解得b=2，c=2。代入f(x)中，得到f(-1)=-1+2+2=3。17.将“24=16”中数字“4”移动位置后等式可以成立，如：“4=16”。据此，若只移动一个数字的位置使等式“3-16=4”成立，则成立的等式为“31-6=4”。18.（本题满分12分）已知全集U=R，集合A={x∈R|2x-1≤3}，集合B={x∈R|1<x≤3}。（1）求A∩B及(C_R^A)；（2）将集合A、B、U表示在数轴上，并用图示法表示A∩B、A∪B、A-B。解析：（1）将2x-1≤3化简得到x≤2，因此A={x∈R|x≤2}。将1<x≤3化简得到1<x且x≤3，因此B={x∈R|1<x≤3}。A∩B={x∈R|1<x≤2}。由于U=R，所以C_R^A表示不属于A的所有实数，即C_R^A={x∈R|x>2}。（2）将A、B、U表示在数轴上如下图所示：01234---------U-------------A--------B----用图示法表示A∩B、A∪B、A-B如下图所示：01234---------U-------------A∩B--------A--------B--------A-B-------------A∪B---------19.（本题满分14分）已知函数f(x)=x^2+3x-2/(x+3)。（1）证明f(x)在(-3,∞)上单调递增；（2）求f(x)在(-3,∞)上的最小值。解析：（1）对f(x)求导得到f'(x)=(x^2+9)/(x+3)^2。因为x^2+9>0，所以f'(x)>0，即f(x)在(-3,∞)上单调递增。（2）当x=-3时，f(x)不存在。当x>-3时，f(x)=x^2+3x-2/(x+3)≥-2，所以f(x)在(-3,∞)上存在最小值。对f(x)求导得到f'(x)=(x^2+9)/(x+3)^2，令f'(x)=0，得到x=±3i，但x∈R，所以f(x)的最小值为f(-3)=-7/6。已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}$，$x\inR$.（1）求$f(x)$的定义域；（2）证明$f(x)$为偶函数；（3）讨论$f(x)$的单调性和极值.解答：（1）由于$x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0$，所以$x^2-2x+2\neq0$，即$x\neq1\pmi$.因此，$f(x)$的定义域为$R$减去点$1-i$和$1+i$，即$f(x)$的定义域为$(-\infty,1-i)\cup(1-i,1+i)\cup(1+i,+\infty)$.（2）对于任意$x\in(-\infty,1-i)\cup(1+i,+\infty)$，都有$-x\in(1-i,1+i)$，因此$$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2-2(-x)+2}=\frac{1}{x^2+2x+2}=f(x).$$又对于任意$x\in(1-i,1+i)$，都有$1-x\in(1-i,1+i)$，因此$$f(1-x)=\frac{1}{(1-x)^2-2(1-x)+2}=\frac{1}{x^2-2x+2}=f(x).$$综上所述，$f(x)$为偶函数.（3）首先，$f(x)$在定义域的两个无穷大端点处的极限为0，即$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=0.$$其次，$f(x)$在定义域内可导，且$$f'(x)=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+2)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x+2)^2}.$$因此，$f(x)$在$x<1$和$x>1$的单调性已经确定，只需讨论$x=1$时的单调性.当$x<1$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(1-\infty,1)$上单调递增；当$x>1$时，$f'(x)<0$，即$f(x)$在$(1,1+\infty)$上单调递减.综上所述，$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减.又因为$f(x)$为偶函数，所以只需讨论$x>1$的情况即可.当$x>1$时，$f(x)$单调递减，且$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$，因此$f(x)$在$x=1$处取得极大值.由于$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$在$x=-1$处也取得极大值，即$$\max_{x\inR}f(x)=f(1)=\frac{1}{2}.$$(1)根据不等式2x-1≤3得x≤1，因此A={x|x≤1}。根据不等式3<2x≤4即2-1<2x≤2^2得-1<x≤2，因此B={x|-1<x≤2}。由此可知B={x|-1<x≤1}，因此A∩B={x|x>1}，A∪B={x|x>-1}，(CRA)={x|x>1}B={x|x>-1}。(2)因为C⊆B，且a>2时，2a>4>a，因此a≤2。又因为a≥1，因此1≤a≤2。(1)根据不等式2x-1≤3，可得x≤1，因此集合A={x|x≤1}。根据不等式3<2x≤4即2-1<2x≤2^2，可得-1<x≤2，因此集合B={x|-1<x≤2}。进而得出B={x|-1<x≤1}，因此A与B的交集为集合{x|x>1}，并集为集合{x|x>-1}，(CRA)={x|x>1}B={x|x>-1}。(2)因为C是B的子集，且a>2时，有2a>4>a，因此a≤2。又因为a≥1，因此1≤a≤2。(1)因为当x>0时，f(x)=x-1/x，因此f(2)=2-1/4=7/4。又因为f(x)为奇函数，因此f(-2)=-f(2)=-7/4。(2)对于任意x1,x2∈(0,∞)，且x1<x2，有f(x1)-f(x2)=x1-x2+2/(x2^2)-2/(x1^2)。(1)因为当x>0时，函数f(x)=x-1/x，所以f(2)=2-1/4=7/4。又因为f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)=-7/4。(2)对于任意x1,x2∈(0,∞)，且x1<x2，有f(x1)-f(x2)=x1-x2+2/(x2^2)-2/(x1^2)。2=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/(x1+x2)>=(x1-x2)(因为x1,x2∈(0,+∞)，所以x1+x2>0)，得到8分。因为x1<x2，所以x1-x2<0，且1+(x1+x2)>1，所以1+(x1+x2)>0，得到9分。所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)。因此，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，得到10分。当x<0时，-x>0，所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-2]/(2(-x)x)=x+2/(2x)，得到12分。又因为f(x)=1，当x<0时，f(x)=0，当x=0时，f(x)=1/2，当x>0时，f(x)=x+2/(2x)，得到13分。所以函数f(x)在x∈R上的解析式为：f(x)=0,x≤01/2,x=0x+2/(2x),x>0，得到14分。解题过程：③g(x)=2>,g(x)恒过(0,1)点解：由于g(x)恒过(0,1)点，所以g(0)=1，即a=1。所以g(x)=x+1，当x>0时，g(x)>2，不符合条件。当x=0时，g(x)=1<2，符合条件。所以解为x=0。（本小题满分14分）解：（1）因为f(x)<0的解集为(,1)，所以方程ax^2-(a+1)x+1=0的两个根分别为1和1/a。因为1<1/a<，所以a>1。又因为a+1>0，所以a>-1。综合得1<a<。（2）由f(x)>0得：ax^2-(a+1)x+1>0，所以(ax-1)(x-1)>0。当a>1时，<1，不等式的解集是{x|x<1或x>1}。当a=1时，不等式可化为(x-1)>0，不等式的解集是{x|x≠1}。当1<a<时，>1，不等式的解集是{x|x<1或x>1}。综上可得，当1<a<时，不等式的解集是{x|x<1或x>1}；当a=1时，不等式的解集是{x|x≠1}；当a>1时，不等式的解集是{x|x<1或x>1}。（本小题满分14分）解：（1）若f(x)在x∈(2,∞)上单调递增，则f'(x)=1-2/(x-2)^2>0，即(x-2)^2>2，所以x>2+sqrt(2)或x<2-sqrt(2)。与x∈(2,∞)矛盾。（2）当k=2时，f(x)=x-2x+1/2=1/2(x-2)^2。因为k≤4，所以1/2(x-2)^2≤8，即(x-2)^2≤16。所以-4≤x-2≤4，即-2≤x≤6。又因为x∈[−1,1]，所以2x∈[−2,2]，即t∈[−2,2]。所以f(t)=t-2t+1=(1-t)^2在[−1,1]上单调递减，[1,2]上单调递增。因为f(2)=1<2，所以解为x=2。③因为g(x)恒过(0,1)点，所以g(0)=1，即a=1。所以g(x)=x+1。当x=0时，g(x)=1<2，符合条件。所以解为x=0。解：（1）由f(x)<0的解集为(,1)，得方程ax^2-(a+1)x+1=0的两个根分别为1和1/a。因为1<1/a<，所以1<a<。又因为a+1>0，所以a>-1。综合得1<a<。（2）由f(x)>0得：ax^2-(a+1)x+1>0，所以(ax-1)(x-1)>0。当a>1时，<1，不等式的解集是{x|x<1或x>1}。当a=1时，不等式可化为(x-1)>0，不等式的解集是{x|x≠1}。当1<a<时，>1，不等式的解集是{x|x<1或x>1}。综上可得，当1<a<时，不等式的解集是{x|x<1或x>1}；当a=1时，不等式的解集是{x|x≠1}；当a>1时，不等式的解集是{x|x<1或x>1}。解：（1）若f(x)在x∈(2,∞)上单调递增，则f'(x)=1-2/(x-2)^2>0，即(x-2)^2>2，所以x>2+sqrt(2)或x<2-sqrt(2)。与x∈(2,∞)矛盾。（2）当k=2时，f(x)=x-2x+1/2=1/2(x-2)^2。因为k≤4，所以1/2(x-2)^2≤8，即(x-2)^2≤16。所以-4≤x-2≤4，即-2≤x≤6。又因为x∈[−1,1]，所以2x∈[−2,2]，即t∈[−2,2]。所以f(t)=(1-t)^2在[−1,1]上单调递减，[1,2]上单调递增。因为f(2)=1<2，所以解为x=2。(1)因为$f(x)$是一个凸函数，所以$f(2x)_{max}=f(t)_{max}=f(2)=1$。(3)因为$f(x)\geq0$在$x\in(0,+\infty)$上恒成立，所以$x^2-kx+1\geq0$在$x\in(0,+\infty)$恒成立，在$x\in(0,+\infty)$上恒成立。令$g(x)=x+\frac{111}{x}$，则$g(x)=x+\frac{111}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{111}{x}}=2\sqrt{111}$，当且仅当$x=1$时等号成立，所以$k\leq2$。即$k\leqx+\frac{111}{x}$。(23)(1)由题知：当$x=10>8$米时，点$F$在线段$CD$上，$DF=10^2-8^2=6$。因为$S_1=S_{ABCD}-S_2=S_{ABCD}-S_{\triangleABE}-S_{\triangleECF}-S_{\triangleADF}$，所以$f(10)=64-16-4-24=20$平方米。(2)由题知，当$x<8$米时，点$F$在线段$AD$上。此时，$S_1<S_{\triangleADE}=32$平方米。当$x\geq8$米时，点$F$在线段$CD$上，$x\in[8,82)$，令$t=x^2-64\in[0,8)$。根据题意，有$S_1=S_{ABCD}-S_2=S_{ABCD}-S_{\triangleABE}-S_{\triangle