高中数学-2.3.1　向量数量积的物理背景与定义教学设计学情分析教材分析课后反思

根据课标要求，我把教学过程设计为：引入新课、概念形成、典例探究、课堂小结、当堂检测、课后巩固六个板块。一、引入新课：在物理学中力做功的计算里涉及哪些量？是如何计算的？思考：1．如右图，一个物体在力的作用下产生位移，且力与位移的夹角为，那么力所做的功是多少？结论：2．功是由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量与的“数量积”．一般地，对于非零向量与的数量积是指什么？【设计意图】在物理学中力做功的计算里涉及力在位移方向上的分力以及力与位移的夹角，引出本节所学内容二、概念形成：1．两个向量的夹角已知两个非零向量、，=，=，则∠AOB称作向量和向量的夹角,记作<，>.并规定0≤<，>≤π.几点说明：（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（2）〈a，b〉=〈b，a〉；（3）范围0≤〈a，b〉≤π；（4）〈a，b〉=0时,a、b同向；〈a，b〉=π时，a、b反向；〈a，b〉=90°时，a⊥b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.练一练：等边三角形中，求（1）与的夹角；（2）与的夹角。【设计意图】正确确定两个向量的夹角是求向量数量积的关键，注意：①两个向量有无公共始点②两个向量的方向.2．向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量和轴l，作=，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量在轴l上的正射影.（2）正射影的数量：向量的正射影在轴l上的坐标，称作在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有几点说明：1.a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当q为锐角时，数量为正值；3.当q为钝角时，数量为负值；4.当q为直角时，数量为0；5.当q=0°时，数量为|a|；6.当q=180°时，数量为-|a|.特别强调：向量的正射影是一个向量．练一练：已知轴1，如图（1）向量=5，<，>=60o，求在1上的正射影的数量OA1.（2）向量=5，<，>=120o，求在1上的正射影的数量OB13.平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即，其中是与的夹角．思考：根据投影的概念，数量积的几何意义是什么？结论：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在方向上的投影的乘积．几点说明三1.a·b不能写成a×b，ab．2.数量积a×b等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cosq的乘积.3.两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量.4.规定，零向量与任一向量的数量积为0．【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识．练一练.已知||=5，||=4，<,>=120o，求·。跟进练习1：已知||＝３，||＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·。4．平面向量数量积的运算性质思考1：设与都是非零向量，若，则等于多少？反之成立吗？结论：思考2：当与同向时，等于什么？当与反向时，等于什么？特别地，等于什么？结论：当与同向时，；当与反向时，；，所以．通常记作．思考3：设与都是非零向量，如何计算它们的夹角？结论：由可得，再结合可求出．思考4：与的大小关系如何？为什么？结论：，因为，所以【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动．这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情．三、典例探究（自主学习、合作探究）例1.在平行四边形ABCD中，已知=4=3∠DAB=60°，求（1）（2）(3)拓展例2.已知|a|=3,|b|=5，且·=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。设计意图：本环节是对定义的准确应用，学生合作探究后板书展示证明过程，总结证明步骤，再通过点评环节进一步优化证明过程，修改完善证明步骤，教师加以强调，并总结常用的结论：当，即时，；当，即时，；当，即时，．希望学生体会到“形”和“数”从不同角度刻画概念，这里通过严谨的证明解题过程，从“数”的角度，体会判断可转化成证明。四、当堂检测：设计意图：我选取了紧扣本节学习目标的几道习题，第1、2题是考察向量数量积的定义，加深学生对定义的理解，检测学习目标1；第3、4题是考察一个向量在另一个向量方向上的正射影的数量，检测学习目标2。五、课堂小结：设计意图：学生进行总结，构建知识结构，教师适时补充，点评本节课所有小组表现。使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习。六、课后巩固：设计意图：选取部分课后习题进行训练，巩固本节内容.教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。具体到我们班级学生而言有以下特点：学习习惯不好，小动作较多，学习时注意力抗干扰能力不强，易被外界因素所影响，需要不断的引导；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。知识基础上，能套用一些简单的公式，会求一些简单的数量积。学习能力上，具备了一定的观察、类比、分析能力，初步具有数形结合思维能力。学习心理上，数量积是学生在物理中用到的并渴望进一步学习，这是学习本节课的情感基础。本节课对我班大部分同学来说难度较大，需要提前预习，概念比较多容易混淆。评测结果：本次当堂检测4分钟，全班8个小组共47名同学，20分以上的25人中一组3人，二组3人，三组4人，四组3人，五组2人，六组4人，七组3人，八组3人。五组较差，三组六组最好。10分—20分的17人其中一组3人，二组3人，三组2人，四组2人，五组2人，六组2人，七组1人，八组2。10分以下5人，其中四组1人，五组2人，七组2人。平均分五组最差，三组六组最好。三组六组优秀分最好。较差的两个组是一组和二组，组长负责自己组的问题汇总，小组讨论不能解决的自习课老师帮着解决。效果分析：评测结果基本达到了当堂检测堂堂清的效果，部分同学基础较差，还需课下加强练习解决自己的问题。第1题主要是部分学生对概念还是理解不透，特别是对角的大小的把握还不到位；第2题是求射影向量的数量，同学们对定义的式子写的欠熟练，向量数量积的变形应用即夹角公式不能灵活应用。本节课选自人教B版第二章第三节平面向量数量积的第一小节向量数量积的物理背景与定义，先以力做功为背景引入向量的数量积的概念然后再探索向量数量积的性质和应用。两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过一种新的乘法，它不同于数的乘法。这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对他的理解和掌握将直接影响其他内容的学习，具有承上启下的作用。根据数学课程标准总目标以及学生情况分析，本节课教学目标确定为：知识与技能：理解平面向量数量积的含义及其物理意义;体会平面向量数量积与正射影的关系;会进行平面向量数量积的运算;会用数量积处理简单的垂直问题和夹角问题及判断三角形形状。过程与方法：通过向量数量积的物理背景的了解,体会物理学和数学的关系;在向量数量积定义的给出过程中,体会简单归纳与严谨定义的区别;通过向量数量积运算律的学习,体会类比,猜想,证明的探索式学习方法.情感态度与价值观：通过对数量积的引入和应用,激发学生学习数学的兴趣,培养学生自主探究能力.体验学习的快乐,培养学生认真严谨的学习态度.重点：平面向量数量积的概念,用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角.难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解,平面向量数量积的应用.平面向量的数量积我分为两个课时，第一课时是概念新授课，第二人课时是习题课，用于巩固所学新知识。向量数量积的物理背景与定义当堂检测姓名：班级：小组：分数：A组：1.已知，，求和的夹角.2.在中，a=8,b=7,C=,求.则在上的正射影的数量为B组：4.已知，在方向上的正射影的数量为-6，求·在教学设计之前我反复阅读了教材和课程标准，针对重难点设计了一系列问题，并与组里同事反复商讨最终定稿，但在课上仍发现一系列的问题。最突出的是：学生对正射影以及正射影的数量概念理解不到位，对拓展的两个问题无从下手，能力较强的同学可以解决，通过小组辨析讨论，最终大部分同学理解较好，深化了概念。讨论过程让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来，教师再引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到了一定的预期效果。但我认为本节课还存在很多问题：本节课较简单老师的提示太多，应该放手让学生不断质疑对抗思考。课堂展示不具有普遍性。爬板最好用中等生，简单题用后进生。这样易暴露问题。展示要有不确定性，激发每个同学的积极参与，真正融于课堂。课堂生成问题较少，质疑气氛不活跃。课堂小结缺少对本节课“课堂听讲”“专注程度”的小组整体评价。随着课堂改革的深入，我也会加强学习新的教学理念、教学模式，不断完善自己，让自己的课堂更高效。从高中数学学习看，平面向量数量积的物理背景