高一数学人教版函数性质综合

函数的性质综合年 级：高一主讲人：明昱学 科：数学（人教A版）学 校：北京市第二十五中学成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例1

已知函数𝑦

ൌ

𝑥ଶ

൅

𝑏𝑥

−

1.（1）当b=2时，画出函数图象，并根据图象写出函数的单调区间、最大（小）值，判断它的奇偶性；当b=2时，𝑦

ൌ

𝑥ଶ

൅2𝑥

−

1

ൌ 𝑥

൅

1

ଶ

−2.单调递减区间：(−∞,−1]，单调递增区间：[−1,+∞).当x=−1时，函数有最小值−2，无最大值.此函数既不是偶函数也不是奇函数.（2）你能用定义来描述（1）中函数的各条性质吗？当b=2时，𝑦=𝑥ଶ

+2𝑥−1当x≤−1时，y随x的增大而减小，当x≥−1时，y随x的增大而增大，因此，单调递减区间：(−∞,−1]，单调递增区间：[−1

,+∞).当x=−1时，y=−2；∀x∈R，都有y≥−2，因此当x=−1时，函数有最小值−2，无最大值.例1

已知函数𝑦

=

𝑥ଶ

+

𝑏𝑥

−

1.（2）你能用定义来描述（1）中函数的各条性质吗？当b=2时，𝑦

=

𝑓

𝑥 =

𝑥ଶ

+

2𝑥

−

1,𝑓−𝑥

=(−𝑥)ଶ+2−𝑥

−1=𝑥ଶ

−2𝑥−1

，由于f(−x)≠f(x)且f(−x)≠−f(x)，因此这个函数既不是偶函数也不是奇函数.例1

已知函数𝑦

=

𝑥ଶ

+

𝑏𝑥

−

1.形函数的单调性数单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间当 时，都有单调递减当 时，都有））形函数的最值数最大值设函数f(x)的定义域为I，（1

都有f(x)≤M;（2

使得f(𝑥଴)=M.最小值（1）

都有f(x)≥m;（2）

使得f(𝑥଴)=m.形函数的奇偶性数偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果 都有且奇函数如果 都有且追问1（1）

当b∈

R时，请写出函数𝑦

=𝑥ଶ

+

𝑏𝑥−

1的单调区间、最大（小）值，判断它的奇偶性，并观察哪些性质发生了变化？ଶ由于抛物线开口向上，对称轴方程x=−௕，因此单调递减区间：(−∞,−௕]，单调递增区间：[−௕,+∞).ଶ

ଶ当x=−௕时，函数有最小值−௕మ

−1，无最大值.ଶ

ସ当b=0时，函数的对称轴x=−௕=0即y轴，因此是偶函数；ଶ当b≠0时，函数既不是偶函数也不是奇函数.追问1（2）若函数𝑦=𝑥ଶ

+𝑏𝑥−1的图象关于直线x=1对称，则实数b的取值是多少？ଶ由于对称轴x=−௕=1，因此b=−2.追问1（3）请写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.追问2（1）

当b=0时，函数𝑦

=

𝑥ଶ

+

𝑏𝑥

−

1是奇函数还是偶函数？在(0,+∞)上单调递增还是单调递减？在(−∞,0)上单调递增还是单调递减？由追问1（1），当b=0时，函数化为f(x)=𝑥ଶ

−1是R上偶函数.在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减.f(x)在(−∞,0)上单调递增还是单调递减？单调递增.追问2（2） 若已知函数f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，判断由此我们可以得到以下结论：若f(x)为偶函数，则f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性；若f(x)为奇函数，则f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性.例2已知y=f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，部分图象如图所示，请补全函数图象，并写出单调区间，最大值和最小值.因为y=f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，所以图象关于原点对称，补全如图所示.单调增区间：[−2,2]；单调减区间：[−3,−2]，[2,3].当x=−2时，函数f(x)取得最小值，最小值是−2；当x=2时，函数f(x)取得最大值，最大值是2.小结：请同学们思考以下问题：（1）我们学习了哪些函数性质？（2）这些性质的判断规则和操作步骤是什么？课后作业：已知f(x)是奇函数，且在[3,7]上是增函数且最大值为4，那么f(x)在[−7,−3]上是

（填“增”或“减”）函数，且最

（填“大”或“小）值是

.定义在R上的偶函数

f(x)，且在区间[−10,0]上为增函数，则（

）2)

<

f

(2)A．f

(3)