函数的单调性与凹凸性判别课件

函数单调性的判别法单调区间求法小结思考题作业§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法第三章微分中值定理与导数的应用1一、单调性的判别法

函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。2

从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的.

这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。定理3证应用拉氏定理,得4

解因为在(0,2p)内

y1cosx>0

所以,函数yxsinx

在[02p]上的单调增加

例判定函数yxsinx

在[02p]上的单调性

定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0则f(x)在[a

b]上单调减少

5

因为在(0)内y<0所以函数

yexx1在(0]上单调减少

因为在(0

)内y>0所以函数

yexx1在[0

)上单调增加

解

函数yexx1的定义域为(

)

yex1

例

讨论函数

yex

x1的单调性

注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．6方法问题如上例,函数在定义区间上不是单调的,定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的临界点．二、单调区间求法但在各个部分区间上单调．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间7

(1)确定函数的定义域

(2)求出导数f

(x)

(3)求出f

(x)全部零点和不可导点

(4)判断或列表判断

(5)综合结论

确定函数单调区间的步骤8例.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为9说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,10例解11xyy

解

这个函数的定义域为(

)

函数f(x)在区间(0]和[1

)上单调减少在区间[01]上单调增加

(0)

(01)

(1

)

↗

↘

练习

确定函数

的单调区间

驻点x=1,不可导点x=0,↘－－＋12三、利用单调性证明不等式

利用单调性证明不等式的步骤：①将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x).②求验证f(x)在指定区间上的单调性.③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.13例证14单调增加

证明

例

证明:当时,于是即因此15例证

定不出符号1617

因为当x>1时

f

(x)>0所以f(x)在[1

)上f(x)单调增加

练习

证明

因此当x>1时

f(x)>f(1)=0即18证只要证令则所以即有得思考19(concaveandconvex)四、曲线凹凸性的判别法

前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB

如右图所示L1

，L2，L3

虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。L1

是“凸”弧，L2是“凹”弧，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。20?1.定义如何研究曲线的弯曲方向图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方21定义1恒有凹(凸)图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方22

曲线弧上每一点的切线定义2(上)

方,称为凹

弧.(凸)凹弧的曲线段的切线斜率是单增的,是单增的,凸弧的切线斜率是单减的,是单减的.而

利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,都在曲线的下23定理2二阶导数,凹(凸)2.凹凸性的判别法24证即这说明切线位于曲线的下方,

Taylor公式即f(x)是凹的.25观察与思考:

f(x)的图形的凹凸性与f

(x)的单调性的关系.

1)f(x)的图形是凹的

2)f(x)的图形是凸的

f

(x)单调增加;

f

(x)单调减少.

定理2(曲线凹凸性的判定法)

设f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内具有二阶导数.

若在(ab)内f

(x)>0

则f(x)在[ab]上的图形是凹的

若在(ab)内f

(x)<0

则f(x)在[ab]上的图形是凸的

26例解注

凸变凹的分界点.271.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.几何上五、曲线的拐点及其求法(inflectionpoint)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点28方法：2.拐点的求法

拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件具有二阶导数,则点(1)(2)是拐点的必要条件为(或x0为二阶导数不存在的点)29

求拐点一般步骤30例解凹的凸的凹的拐点拐点3132例解33例解拐点拐点不存在定义域为(1)(2)(3)列表34解例35解例36六、小结

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.单调性的应用:改变弯曲方向的点:凹凸性;拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向:凹凸性的应用:利用凹凸性证明不等式.37思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.

设在38

.2.

曲线的凹区间是凸区间是