薄板弯曲问题

12.1IntroductionandAssumptions

12BendingofThinPlates12.2DifferentialEquationforBendingofThinPlate12.3StressResultantsandStressCouples12.4BoundaryConditions12.5ASimpleSolutionforEllipticalPlates12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeries12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeries圆形薄板的弯曲求解圆形薄板的弯曲问题，用极坐标比较方便，我们把挠度w和荷载q看作是极坐标r和的函数，即因为w和q既是r、的函数，又是x、y的函数，利用极坐标与直角坐标之间的关系，可以得出下列变换式：12.8BendingofCircularPlates弹性曲面得微分方程可以变换为：下面导出用w表示内力得表达式：从薄板内取出一个微单元，如图所示xyzorddrMrMrQr在r为常量的横截面上，应力分量r、r、rz分别合成为弯矩Mr，扭矩Mr和剪力QrMMrQ在为常量的横截面上，应力分量、r、z分别合成为弯矩M，扭矩Mr和剪力Q将x轴、y轴分别转到r、

的方向，则该处的Mr、Mr、Qr、M、Mr、Q分别成为Mx、My、Mxy、Myx、Qx、QyxyzorddrMrMrQrMMrQ所以，利用前述的内力计算公式，且令=0，即可得到极坐标下的内力计算公式：其中：圆形薄板的边界条件：（坐标原点取在薄板的中心）a、在r=a处固定b、在r=a处简支或c、在r=a处自由在r=a的横截面上，可将扭矩转换为等效剪力：等效剪力与横向剪力合并成为总的剪力：边界条件变为：或归纳计算圆形薄板的弯曲问题，最终归结为，由方程：求挠旷度w，然后呈根据辩公式限：求弯触矩、允扭矩再和剪将力满足况弹性偶曲面块微分道方程守的位暴移及宽由此抛求出犬的弯救矩、满扭矩喇、剪僻力应赛该满帮足相火应的友位移爹边界鸡条件增和应防力边悬界条辛件圆形捏薄板城的轴齐对称销弯曲如果块圆形届薄板担所受饿的荷亡载是纺绕z轴对惨称，犹（q只是r的函漂数）隆，则签薄板乌的弹戏性曲冶面也导将是话绕z轴对钞称（w只是r的函酸数）此时，弹性曲面的微分方程简化为：12晌.9Ax址is抹ym孟me禁tr些ic皂al框B萄en险di粥ng精o娘f绞Ci箭rc咱ul庄ar肆P杏la莫te瞎s此常微分方程的解答是：其中倘，w1是任膨意一涂个特溜解，验可根宋据荷晴载q来选字择，C1、C2、C3、C4是任舅意常节数，负根据上边界拘条件弱来确薄定例如，受均布荷载q0作用的薄板，特解w1可以取为：其中m为常数，将w1代入方程：求得：于是，方程得解答为：根据丹边界秘条件贩求C1、C2、C3、C4如果皆在薄冠板的掠中心钟没有沾孔，袜C1盆=C依2=纤0，玩否则树，在梢薄板册的中巴心，贿内力牲将趋革于无会穷大由此估求得括内力摩：根据劲对称德性，订Q等于耗零，飘而Qr可由剖平衡棉条件趴得到驴。C3和C4由边发界条浪件确怠定如，半径为a的薄板具有固定边，边界条件为：由此求得：最后领结果盒：由平雕衡条休件求经Qr取出半径为r的中间部分薄板，由平衡条件：在薄板的中心：在薄板的边界：对于恢在各叮种边轿界条挎件下傻受各父种荷巨载的热圆形沫薄板睁，很螺多专绣著给般出了脖关于岁挠度素和弯职矩的匆公式谁，供敬工程假设计抖之用本矩章耍小拣结（1酸）本吧章研大究薄械板弯渗曲问壮题，论首先腐弄清禾研究不对象慕，掌体握它碎们的偷定义敢及分剥类，眼以及死我们脖所学竟理论袭的适怎用范窗围（2练）对沿于薄跃板弯脏曲问浸题的骄三个舅补充炊假定声的提棕法、裂含义查以及绞由这异三个乡丰假定扎推导慰出的东结论管要深垮刻理肌解（3诱）三脏个补系充假夏定回创顾（4）薄板弯曲的挠曲微分方程：（5另）求酬解问谅题时掘，须历按薄斤板侧告面（捕板边受上）冲的边遣界条香件，希由这肿个微眯分方左程求歉出挠程度w醉，然锹后求痕得内争力分感量或故应力达分量（6够）边供界条肌件的秋提法介很重苦要，左是薄脆板弯按曲问缝题的篮关键那技术瓣，应泰重点河掌握勺，对距于固辈定边幅、简径支边差和自茫由边哨的边榆界条衡件，火应熟快练掌清握（7吩）纳洞维叶钱(Na文vi赵er)解和注李维政(Le翻vy)解，择一般推把它挡们