高中数学-1.3.2　余弦函数正切函数的图象与性质教学设计学情分析教材分析课后反思

必修四1.4.3正切函数图像及性质(教学设计)教学背景1．学生已经有了学习正弦函数和余弦函数的图象与性质的经验，因此可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对正切函数性质与图象的研究中；2．学生已经掌握了正切函数的定义、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质和图象，体会研究函数方法，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备．教学目标1．知识与技能：通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．2．过程与方法：在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．3．情感态度与价值观：通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．重点难点教学重点：正切函数的图象与性质的简单应用．教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．课时安排1课时eq\o(\s\up14(),\s\do5(教学过程))导入新课(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．复习回顾什么是角ɑ的正切线？在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，任意角α的终边与单位段AT为角α的正切线。圆交于点P，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长相交于T点，则tanx=AT.2.诱导公式知识探究1.正切函数的图像思考1：正切函数的定义域是什么？思考2：正切函数y=tanx是否为周期函数？2.诱导公式思考3：类比正弦函数图像的作法，可以利用正切线作正切函数在区间的图像，具体应如何操作？教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在开区间(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内的图象，如图1根据正切函数的周期性，把图1向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)的图象，我们称正切曲线，如图2.可以看出，正切曲线是由通过点(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．图1图22.正切函数的性质下面让学生结合图像自己探究正切函数y＝tanx的性质：(1)定义域正切函数的定义域是{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}，而不是{α≠eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应适时提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．(2)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从图3或正切线可以看出，在区间(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内，当x小于eq\f(π,2)，并且无限接近eq\f(π,2)时，tanx可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况，记作tanx→＋∞.读作“tanx趋向于正无穷大”；当x大于－eq\f(π,2)，并且无限接近－eq\f(π,2)时，tanx可无限地减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作tanx→－∞.读作“tanx趋向于负无穷大”．这就是说，tanx可以取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数y＝tanx的值域是实数集R.(3)周期性由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，可知，正切函数是周期函数，周期是π.(4)奇偶性由诱导公式tan(－x)＝－tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．(5)单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在每一个开区间(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)，k∈Z内都是增函数．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))思考1：正切函数在整个定义域上是不是增函数？正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性，这一点务必让学生理解透彻，课后的思考与讨论提到了这一点．思考2：一条平行于x轴的直线与正切曲线相邻两支的交点的距离为多少？题型探究例1求函数的定义域。活动：让学生自己探究，并展示解题过程。练一练：求函数的定义域。总结：。活动：让学生通过解答，总结求定义域的方法---换元法。例2求函数的周期。活动：师生共同分析，利用换元法求周期。练一练：求函数的周期。思考：由上面两题，你能得到函数的周期吗？活动：让学生总结出函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝eq\f(π,ω).例1比较大小．比较的函数值的大小。活动：．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．解：(1)∵y＝tanx在90°<x<180°上为增函数，∴由167°<173°，得tan167°<tan173°.练一练：。总结：。活动：（学生总结）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小。例4求函数的单调区间。活动：师生共同探究，并完整板书。练一练：求函数的单调区间。提问：这个题目求解时要注意什么？思考：如何求函数的单调区间？活动：（学生总结）1、将x的系数化成正数；2、换元法。当堂检测基础训练函数的周期是（）πB.2πC.D.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c的大小关系是（）a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c.4.函数的定义域是5.函数的单调区间。能力提升函数的定义域是（）(A){x|kπ<x<kπ+,k∈Z}(B){x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}(C){x|kπ<x<kπ+,k∈Z}(D)第一、三象限eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．2．教师简要归纳，本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))：课本A组练习题eq\o(\s\up14(),\s\do5(设计感想))1．本教案的设计思路是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步地发散思考→探索提高．1.4.3正切函数图像及性质（学情分析）学情分析本节课是在学习了正弦、余弦函数的图像与性质后，继续学习又一种具体的三角函数——正切函数。学生已经掌握了任意角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式，并且已经具备了一定的绘图技能，这为本节课的学习提供了一定的知识保障。本节课将类比研究正弦函数的图像和性质的方法进一步研究正切函数的图像和性质，这也是为后面学习解析几何中，直线的斜率做好知识储备但我校学生基础一般，对知识存在前学后忘的现象，计算、作图是他们的薄弱环节，且学生的归纳、总结能力也有所欠缺，同时在学习时普遍存在畏难心理，因此需要在教师的指导下能力目标才能达到。

1.4.3正切函数图像及性质（效果分析）1.本节课主要学习了正切函数的图像与性质，大多数学生掌握了用类比的方法作正切函数的图像，并能归纳出函数的性质。题型探究中，例1求函数的定义域，部分学生没有写成集合的形式；例4求函数的单调区间，没有将x的系数化成正数。

2．本节课的评测练习，难度一般，针对本班学生学习水平以及接受能力也是考虑到学生刚刚学过新课对知识点还不是很熟悉的前提下而特设的。测试结果为：参加今天听课的有48名学生，其中全对的有26人；做错一题的有16人；做错两题的有6人。

3．存在问题分析

（1）、学生掌握基础知识不牢固，没有转化为自己的知识，对刚学过的基本理论不能熟记或者说理解不透。

（2）、计算正确率较低。表现为粗心大意，看错数字或运算符号等。基本的计算能力太差。

（3）、解决问题的能力较差，不能举一反三。

4、教师要加强学习，搞好集体备课加强实践，循序渐进，形成知识体系，才能提高教学质量。教学时注重联系学生的生活实际，注重情景教学，从生活中走进数学，然后再让数学应用于生活。课堂教学中，要保证教学时间，实施分组教学，采用多种方法进行教学尝试。

4、课堂教学中，要保证教学时间，实施分组教学，采用多种方法进行教学尝试。要对学生加强学法指导，在平时教学中和辅导中要给学生科学的学习方法。对薄弱的题型要加强练习。必修四1.4.3正切函数图像及性质(教学反思)教学反思由于师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。因此在教学过程中应尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。成功之处：①让学生自己发现问题,分析问题,解决问题,这一过程遵循由特殊到一般,从感性到理性的认知规律,培养学生归纳,抽象的能力.②在课前备课时，针对学生对问题理解能力的差异，课前设置了一系列有梯度的问题。在课上，针对不同层次的学生提出不同的问题让不同层次的学生都体验成功。课堂检测设计了基础训练和能力提升，注重了分层次教学。不足之处：作函数图像时，我依据教材上的方法直接确定了区间，这样限制了学生的思维，应该把空间留给学生，让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方程。必修四1.4.3正切函数图像及性质(教材分析)《正切函数的图象和性质》它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。教材先研究了正切函数的定义域和周期，因此，可以先作出正切函数在一个周期的图像。正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用类比的方法，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。在得到图象后，单调性是一个难点，我重点讲解了单调区间的归纳。设计了一个思考题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.1

知识目标

通过本节的学习能理解并掌握作正切函数图象的方法,能用正切函数的图象解决有关问题。

1.2

能力目标

经历正切函数图象的作法过程，发展学生运用类比的方法分析问题和解决问题的能力，并让学生进一步体会数形结合思想方法的重要性。

1.3情感目标

培养学生积极参与、合作交流的主体意识和主动探索、勇于发现的科学精神。在知识的探索和发现的过程中，使学生感到数学学习的意义，从而产生良好的数学学习态度。【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象。必修四1.4.3正切函数图像及性质(评测练习)当堂检测基础训练函数的周期是（）πB.2πC.D.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c的大小关系是（）a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c.4.函数的定义域是。5.函数的单调区间。能力提升函数的定义域是（）(A){x|kπ<x<kπ+,k∈Z}(B){x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}(C){x|kπ<x<kπ+,k∈Z}(D)第一、三象限。必修四1.4.3正切函数图像及性