2021年河南省周口市河南第一中学高三数学理期末试题含解析

2021年河南省周口市河南第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?UQ)＝()A．{1,2,3,4,6}

B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}

D．{1,2}参考答案：D2.设全集U＝R，集合，，则集合(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A3.某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D4.右图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸（单位:）,可知几何体的表面积是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D，由三视图可得,该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱,其表面积。5.同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是

A．

B．

C．

D．参考答案：C解析：逐一排除即可6.

设函数，则满足的x的取值范围是

A．，2]

B．[0，2]

C．[1，+)

D．[0，+)参考答案：D7.过双曲线上任意点作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于两点，若为坐标原点，则的面积为(

)A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D8.设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，则CuM=A．U

B．{1,3,5}

C．{3,5,6}

D．{2,4,6}

参考答案：C，故选C.9.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：C10.用表示不超过的最大整数，如，设函数，关于函数有如下四个命题：①的值域为；②是偶函数；③是周期函数，最小正周期为1；④是增函数.其中正确命题的序号是：

.参考答案：③略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.规定矩阵A3=A?A?A，若矩阵，则x的值是

．参考答案：【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】按照规定的矩阵运算，进行化简，利用矩阵相等的概念，列出关于x的方程，并解出x即可．【解答】解：==，∴3x=1，x=故答案为：【点评】本题考查矩阵的运算，方程思想，属于基础题．12.已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．参考答案：[﹣，5）【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．13.已知50＜x≤80，y＝，则当

时，，最大值为

.参考答案：60，2500略14.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=

．参考答案：试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则S6=6×(×1×1×sin60°)=.【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．15.曲线在点（0,1）处的切线方程为______.参考答案：试题分析：，当时，，那么切线斜率，又过点，所以切线方程是．考点：导数的几何意义【方法点睛】求曲线在某点处的切线方程，基本思路就是先求函数的导数，然后代入，求函数在此点处的导数，就是切线的斜率，然后再按点斜式方程写出，还有另外一种问法，就是问过某点的切线方程，问题，就难了，如果是这样问，那所给点就不一定是切点了，所以要先将切点设出，然后利用此点处的导数就是切线的斜率，和两点连线的斜率相等，与点在曲线上联立方程，求出切点，然后再求切线方程．16.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x+y=______.参考答案：5【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．17.若函数，则的最大值是

.参考答案：16略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围．参考答案：解:（1）建立平面直角坐标系,如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|y=∴动点P的轨迹是椭圆∵∴曲线E的方程是

.

（2）设直线L的方程为,代入曲线E的方程，得设M1（,

则①

②

③

i)

L与y轴重合时，

ii)

L与y轴不重合时，

由①得

又∵,∵

或

∴0＜＜1,∴∵而

∴∴

∴,

,∴的取值范围是

.19.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．（Ⅰ）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．参考答案：（Ⅰ）证明：由题意得：，即，则是“平方递推数列”．

……………2分对两边取对数得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．………4分（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知.

……………5分.

……8分(Ⅲ）解:

………………9分

……10分又，即

…11分又，所以．

…………………12分

略20.已知函数f（x）=axln（x+1）+x+1（x＞﹣1，a∈R）．（1）若，求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥0时，不等式f（x）≤ex恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，求出函数的导数，记h（x）=a[ln（x+1）+1﹣]+1﹣ex，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而确定a的具体范围即可．【解答】解：（1）a=时，f（x）=xln（x+1）+x+1，f′（x）=[ln（x+1）+1﹣]+1，∵f′（x）在（﹣1，+∞）递增，且f′（﹣1+）=0，故x∈（﹣1，﹣1+）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（﹣1+，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递减，故f（x）在（﹣1，﹣1+）递减，在（﹣1+，+∞）；（2）记g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，则g′（x）=a[ln（x+1）+1﹣]+1﹣ex，记h（x）=a[ln（x+1）+1﹣]+1﹣ex，h′（x）=a[+]﹣ex，h′（0）=2a﹣1，①a≤时，∵+∈（0，2]，ex≥1，∴h′（x）≤0，h（x）在（0，+∞）递减，则h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，∴g（x）在（0，+∞）递减，∴g（x）≤g（0）=0恒成立，即f（x）≤ex恒成立，满足题意；②a≥时，h′（x）在（0，+∞）递减，又h′（0）=2a﹣1＞0，x→+∞时，h′（x）→﹣∞，则必存在x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，则x∈（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，x0）递增，此时h（x）＞h（0）=0，x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）递增，∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞ex，不合题意，综上，a≤．21.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（II）利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ），，，