三角函数性质练习题(综合较难)

三角函数性质练习题(综合较难)

三角函数性质练习题(较难)一、选择题1.要得到函数y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的图象()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移1/2个单位D.向右平移1/2个单位[答案]C[解析]本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题。因为y=cos(2x+1)=cos2(x+1/2)，所以只需将y=cos2x图象向左平移1/2个单位即可得到y=cos(2x+1)的图象。2.将函数y=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为()A.π/6B.π/3C.π/4D.π/12[答案]C[解析]将函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y=sin2(x+φ)=sin(2x+2φ)的图象，由题意得2φ=kπ(k∈Z)，故正数φ的最小值为π/4。3.已知ω>0，函数f(x)=cos(ωx+π/3)的一条对称轴为x=π/4，一个对称中心为点(π/6,0)，则ω有()A.最小值2π/3B.最小值π/3C.最小值π/4D.最小值π/12[答案]A[解析]由题意知-π/2≤π/4-π/6≤π/2，∴π/12≤ω≤3π/4，又因为f(x)的周期为2π/ω，所以2π/ω≤4π/3，即ω≥2π/3，故选A。4.将函数y=sin(6x+π/4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π个单位，得到的函数的一个对称中心是()A.(π/6,0)B.(π/4,0)C.(π/3,0)D.(π/2,0)[答案]A[解析]y=sin(6x+π/4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍后，得到y=sin2x的图象，再向右平移π个单位，即向左平移π个单位，所以对称中心为(π/6,0)，选A。5.已知ω是正实数，且函数f(x)=2sinωx在[-3π/4,π/4]上是增函数，那么()A.0<ω≤2π/3B.最大值2π/3C.0<ω≤7π/24D.最大值π/3[答案]A[解析]由题意知f(x)在[-3π/4,π/4]上为增函数，所以ω>0，且2π/ω≤2π，即ω≥2π/3，故选A。[答案]①错，②错，③错，④对。[解析]①sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)，√2sin(x＋π/4)的最大值为√2，不存在sinx＋cosx＝3/2的实数解，故①错；②当α＝β时，tanα＝tanβ，故不一定有tanα>tanβ，故②错；③sin(－x)的最小正周期为π，故③错；④sin(－5x)的最小正周期为π/5，故函数y＝sin(－5x)的最小正周期为5π，故④对。已知函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=8。解析：由图可知，函数y=sin(πx+φ)的最高点为P，设坐标为(x0，y0)。又因为φ>0，所以函数图像向左平移了φ/π个单位，即函数在点(x0-φ/π，y0)处取得最值。由此可得函数的最大值为y0=1，最小值为-1。又因为函数y=sin(πx+φ)的周期为2/π，所以点A的横坐标为x0-1/2，点B的横坐标为x0+1/2。由于函数图像关于点P对称，所以点A、P、B三点共线。设∠APB的角度为α，则tanα=AP/PB=(x0-x0+1/2)/(y0-(-1))=1/2。所以tan∠APB=8。利用正弦函数的周期、最值等性质，可以解决下面的问题。过点P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝2，tanα＝PC/AC，tanβ＝BC/AC，求tan(α＋β)。解析：根据三角函数的定义，tanα＝PC/AC，tanβ＝BC/AC，因此tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα·tanβ)。代入已知条件，得到tan(α＋β)＝8/(1－22/313)，化简得到tan(α＋β)＝－121/87，因此选项B正确。已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在x∈(0，π/2)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是什么？解析：将方程化简得到m＝1－sin2x(2－3sin2x)，令y＝sin2x，得到m＝1－y(2－3y)，因此m是关于y的二次函数。在x∈(0，π/2)上有两个不同的实数根，说明函数图像与x轴有两个交点，因此m＝1－y(2－3y)与y＝sin2x的图像有两个交点。根据函数图像的性质，可以得到－2＜m＜－1。因此答案是－2＜m＜－1。函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－，0)对称，求函数的解析式。解析：由于最小正周期为π，因此有ωπ＝2π，即ω＝2。由于函数图象关于点(－，0)对称，因此φ＝kπ，其中k为整数。由于0＜φ＜π，因此φ＝π/2。因此函数的解析式为y＝sin(2x＋π/2)＝cos2x。2ω＋π2ω＋π：ω＝，k∈Z.66解析式为y＝2sin(3x).(2)将ω代入解析式得f(x)＝3sin(2x＋π/3)，当x＝0时，f(x)＝3sin(π/3)＝3/2，当x＝π/4时，f(x)＝3sin(11π/12)≈1.53，因此，当x∈[0，π/4]时，f(x)的取值范围为[3/2，1.53]．(3)函数f(x)为偶函数，因此只需将其向左平移π/4即可使其成为奇函数．(理)已知a＝(3，cosx)，b＝(cosx，sinx)，函数f(x)＝a·b－2.(1)函数f(x)＝3cosxsinx－2，f'(x)＝3(cos2x－sin2x)＝3cos(2x＋π/2)，因此f(x)的单调递增区间为[0，π/4)∪[3π/4，π]．(2)当x∈[0，π/4]时，f(x)的取值范围为[-2，3/2]；当x∈(π/4，3π/4)时，f(x)的取值范围为(-2，-3/2]；当x∈[3π/4，π]时，f(x)的取值范围为[-2，3/2]．(3)将函数f(x)向右平移π/4即可使其成为奇函数．根据题目给出的函数，可以得到其解析式为$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$。接下来对每段话进行改写和格式修正：1.根据三角函数的定义可知，当$k$为整数时，$2x+k\pi$是$\sin$函数的一个周期。因此，函数$f(x)$的周期为$\frac{\pi}{2}$。2.由于$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$，因此$2x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$。根据$\sin$函数的图像可知，在该区间内，$\sin(2x)$的最大值为$1$，最小值为$-1$。又因为$\frac{3\pi}{2}<2x+\frac{\pi}{2}<\frac{5\pi}{2}$，所以$\sin(2x+\frac{\pi}{2})$的最大值为$1$，最小值为$-1$。因此，当$x=\frac{\pi}{4}$时，$f(x)$取到最大值$1$，当$x=\frac{3\pi}{4}$时，$f(x)$取到最小值$-1$。3.对于函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$，将其图像向右平移一个单位长度，得到函数$y=\sin(2x-\frac{3\pi}{2})$的图像。根据奇偶性的定义，可以得到该函数是一个奇函数。注意，这里的平移是指将$x$坐标减去$1$，而不是加上$1$。补充说明：1.根据题目要求，需要掌握讨论三角函数图像的基本方法，包括将函数化归为基本函数、进行平移和伸缩变换的技巧，以及五点法求解析式的方法。2.在进行平移和伸缩变换时，需要注意坐标轴正方向的定义，以及伸缩倍数的取值和正负号的影响。3.对于三角函数的周期和最值等性质，需要掌握其基本定义和推导方法，以便能够解决实际问题。4.在使用五点法求解析式时，需要根据给定的图像确定函数的周期、振幅和相位差等参数，然后代入通用公式进行求解。1.格式错误已经被删除，没有明显有问题的段落需要删除。2.改写后的文章如下：根据公式T=4π，可以得出ω的值为1/2π。函数f(x)=sin(x+φ)，将(π，1)代入可以求出φ=2kπ(k∈Z)。因此，答案为C。备选习题：1.对于任意x1，x2∈(π/2，2π)，且y2=2x/(x+π)，y1=2x/(x+π/2)，则y1>y2。因为可以取函数y=2x/(x+π)，则y1和y2的几何意义为过原点及点(x1，y1)和(x2，y2)的直线斜率，由于x1<x2，观察函数y=2x/(x+π)的图像可得y1>y2，因此答案为B。2.根据图像可知，函数的图像是cos(2x-π/6)的一部分，因此答案为D。3.函数f(x)=sinx+3sinxcosx在区间[π/4，π/2]上的最大值为1+3/2=5/2。因为f(x)=sinx+3sinxcosx=2sinx+3sin2x/2，所以f(x)的最大值出现在sinx=1时，即x=π/2。因此，f(x)的最大值为5/2，答案为D。4.将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图像，因此有φ=kπ，其中k为整数。由于函数y=sin(2x+φ)的图像是一个周期为π的正弦曲线，因此当k=1/4时，函数的图像沿x轴向左平移8个单位后与原图像重合，因此φ=π/2，答案为B。5．(2013·师大附中质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<π)，图象如图所示。为了得到g(x)＝cos2x的图象，只需将f(x)的图象向左平移一个单位长度。解析：根据函数f(x)的图象可知，它的最小正周期为T=π，振幅A=1，角频率ω=2，相位φ=π/3。因此，当x=π/6时，有2x+φ=π/2+2kπ(k∈Z)，解得φ=π/6。所以，函数f(x)可以表示为f(x)=sin(2x+π/6)。将f(x)的图象向左平移一个单位长度，即可得到g(x)=cos2x的图象。6．(2013·天津理，15)已知函数f(x)=−2sin(2x+π/4)+6sinxcosx−2cos2x+1，x∈R。(1)求f(x)的最小正周期；解析：将f(x)化简得f(x)=2sin(2x−π/4)−2cos2x+1。因此，f(x)的最小正周期为T=π/2。(2)求f(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值。解析：