2021年中考数学总复习《圆》解答题28

2021年中考数学总复习《圆》解答题

1..如图①，已知：在矩形ABCD的边A。上有一点O,0A=M，以。为圆心，OA长为

半径作圆，交AO于M,恰好与8。相切于4,过H作弦“尸〃A3,弦HP=3.若点E

是CO边上一动点(点E与C,力不重合)，过E作直线E尸〃交BC于F,再把△CEF

沿着动直线EF对折，点C的对应点为G.设CE=x,ZXEFG与矩形4BCD重叠部分的

面积为S.

(1)求证：四边形ABHP是菱形；

(2)问△EFG的直角顶点G能落在。0上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说

明理由；

(3)求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与。。相切时，S的值.

【分析】(1)连接0H,可以求出/”0。=60°,NHD0=30°,从而可以求出AB=3,

由“P〃AB,HP=3可证到四边形是平行四边形，再根据切线长定理可得

即可证到四边形ABHP是菱形.

(2)当点G落到AO上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2.

(3)当0<xW2时，如图①，S=S&EGF,只需求出FG,就可得到S与x之间的函数关

系式；当2Vx<3时，如图④，S=S&G£F-S&SGR,只需求出SG、RG,就可得到S与x

之间的函数关系式.当尸G与。。相切时，如图⑤，易得FK=AB=3,KQ=AQ-AK=2

-2—+亚.再由FK=«/国即可求出x,从而求出S.

【解答】解：(1)证明：连接。”，如图①所示.

国①

•四边形A8C£＞是矩形，

力=90°,BC=AD,AB=CD.

"HP//AB,

.NANH+/BAO=180°.

.NANH=90°.

.HN=PN=LHP=3.

22

'OH=OA=C

.sin/HON=胭=返.

OH2

,/HON=60°

•8。与。。相切于点H,

.OH1BD.

.N"00=30°.

.0Z)=2«.

•AD—3fs.

.BC=3«.

"ZBAD=90°,ZBDA=3Q°.

•tanZBDA=-^5.=.

AD3

.AB=3.

'HP=3,

.AB=HP.

'AB//HP,

.四边形ABHP是平行四边形.

•NBAO=90°,AM是。。的直径,

与。。相切于点A.

与OO相切于点H,

:.BA=BH.

平行四边形A8HP是菱形.

(2)Z\EFG的直角顶点G能落在。。上.

如图②所示，点G落到AZ)上.

"：EF//BD,

；.NFEC=NBDC.

,:NBDC=90°-30°=60°,

AZC£F=60°.

由折叠可得：ZGEF=ZCEF=60°.

：.ZGED=60°.

,:CE=x,

：.GE=CE=x.ED=DC-CE=3-x.

.•.COSNG£»=U^=S^=L

GEx2

:,GE=2,ED=l.

:.GD=M.

：.OG=AD-AO-GQ=3«-遍-«=«.

OG=OM.

...点G与点M重合.

此时aFFG的直角顶点G落在。0上，对应的x的值为2.

/.当△EFG的直角顶点G落在。0上时，对应的x的值为2.

(3)①如图①，

在RtZXEG尸中，

tan/FEG=或=四=“.

GEx

FG—yj^c.

.•.S=2GE•尸G=L•后=乂知.

222

图③

ED=3-x,RE=2ED=6-lx,

GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6.

VtanZ5/?G=-^-=-^-=2Zl,

RG3x-63

:.SG=M(X-2).

：.S^SGR=—SG-RG=—^J3(x-2)・(3x-6).

22

=3@(x-2)2.

2_

■:S&GEF="^底■?,

2

:・S=S〉GEF一S^SGR

(x-2)2.

22

=-扬2+6小一6百

综上所述：当。<尤<2时,5=国；当2<x<3时，S=-4^+6心-6b.

2

当FG与。。相切于点T时，延长FG交AQ于点Q,过点F作FKLAC,垂足为K,如

图④所示.

•.•四边形488是矩形，

：.BC//AD,N4BC=NBAD=90°

AZAQF=ZCFG=60a.

,：0T=g,

，OQ=2.

’4。=扬2.

VZFKA=ZABC=ZBAD=90°,

四边形A8FK是矩形.

.•.尸K=AB=3,AK=BF=3M-心•

：.KQ=AQ-AK=（V3+2）-（3后心）=2-2后湿

在RtZXFKQ中，tanZFQK=^=y/3.

QK

：.FK=43QK.

；.3=«（2-2V3+V3c）.

解得：x=3-^H.

_3

V0<3-^（3.^2,

_3__

.•.5=返