2022考研数学（三）真题

2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）

（科目代码：303）

（考试时间：上午8:30-11:30）

考生注意事项

L答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考

单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定

位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须

使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学(三)试题

一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的.

(1)x-0时，a(x),〃(x)是非零无穷小量，给出以下4个命题：

①若a(x)〜伙尤)，则a2(x)~伊⑺；

②若⑥⑶〜，⑶,则a(x)〜"X)；

③若a(x)〜伙x),则a(x)-4(x)=o(a(x));

④若a(x)-尔x)=o(a(x)),则a{x}~/?(%)；

其中真命题是：()

(A)①③.(B)①④.

(C)①③④.(D)②③④.

(2)已知4“=标_1D,(/?=1,2,•••,«),则()

n

(A)有最大值，有最小值.

(B)有最大值，没有最小值.

(C)没有最大值，有最小值.

(D)没有最大值，没有最小值.

(3)连续，F(x，y)=J：’(x-yT)/(t)由，则(>

(A)理-y]=F；(x,y),F\(x,y)=F^x,y).

(B)F'(x,y)=F^x,y),碟(%,y)=一段(x,y).

(C)F；(x,y)=-F'y(x,y),.(%,y)=KGy)

(D)F；\x,y)=-F^x,y),F^.(x,y)=-F^x,y)

(4)__-dx,I,=『n(l±x)G,/3=「_2x_此则()

Jo2(l+cosx)'J()l+cosxJoi+sinx

(A)1}<I2<I3.(B)I2<Ii<ly.

(C)/1</3<I2(D)/3<Z2</,

」00、

(5)设A为3阶矩阵，A=0-10,则A的特征值为1,一1,0的充分必要条件是

0°>

()

（A）存在可逆矩阵P,。，使得A="。

（B）存在可逆矩阵尸，使得A=P4PT

（O存在正交矩阵。，使得

（D）存在可逆矩阵尸，使得4="尸’

(6)设矩阵A=1acr,b=\2

则线性方程组Ax=〃解的情况为（)

Jbb2)⑷

(A)无解（B）有解

(C)有无穷多解或无解（D）有唯一解或无解

（1、

⑺设%=1,a-2,%A，若向量组四,2,里与名，。，，见等价，则

jJ2II

的取值范围是（）

(A){0,1}(B)

(C)W—1,4W—2}(D){川几1}

(8)设随机变量X~N(0,4),y~B(3,g),且X与y不相关，则。(X—3V+1)=()

(A)2.(B)4.(C)6.(D)10.

5

(9)设随机变量XPX2,---,X„独立同分布,X,.的概率密度/(x)=P一凶可,则

0,具他.

工汽X；依概率收敛于（）

〃,=1

(A)(B)一(C)(D)-

8632

（10）二维随机变量（x,y）的联合分布律为

012

-10.10.1b

1a0.10.1

已知事件仙欲”,丫)=2｝与事件｛而11",丫)=1｝相互独立，则Cbv(X,y)=()

(A)-0.6.(B)-0.36.(C)0.(D)0.48.

二、填空题：11〜16小题,每小题5分洪30分.

n+e『

(11)lim------=__________o

io?

I乙，

p2x-4

(12)dx=_________

J。X2+2X+4

(13)设/⑴=esinx+e5"尸(2兀)=.

er,®

(14)/(%)=,，求匚可："(x)/(y-%)办=

0,其他

(15)已知4是3阶矩阵，将A第2行与第3行互换，再将第2列的-1倍加到第1列得矩

，-21-1、

阵1—10,4一1为A的逆，则"(4」)=

、一100,

(16)设A,B,C为随机事件，且A与8互不相容，A与C互不相容，5与。相互独立，

P(A)=P(B)=P(C)=1，则P(3UC|AU8UC)=.

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)

设函数y(x)是微分方程y'+」尸y=2+«的满足式1)=3的解，求曲线〉=y(x)的

2y/X

渐近线.

(18)(本题满分12分)

।।

某单位产品产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数。=12/n，销售单价

p与Q的关系p=1160-1.5Q.若单位资本投入和劳动投入的价格分别为6和8,求利润最

大时的产量.

(19)(本题满分12分)

已知区域D为｛(x,y)y—2领k也-广璘〃2卜计算/=JJ詈*Lxdy.

(20)(本题满分12分)

00（—4）"+1

求基级数一好2"的收敛域及和函数S（x）.

£叫2〃+1）

（21）（本题满分12分）

已知二次型/（王,孙玉）=3累+4x；+3君+2%毛，

（1）求正交变换x=0化二次型为标准型；

（2）证明min1^=2

.30xX

（22）（本题满分12分）

设区,乂2,…X