高考数学2022题型通关21讲第13讲解析几何中的定点定值最值问题（原卷版）

第13讲解析几何中的定点定值最值问题高考预测一：最值问题类型一：弦长或面积问题1．如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．2．已知椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两个不同的点，，求面积的最大值为坐标原点）3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值．4．已知椭圆经过点，且一个焦点为．过点作圆的切线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）将表示为的函数，并求的最大值．5．已知椭圆的离心率为，且过点，．椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的最小值．6．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．7．已知椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若点、在椭圆上，且四边形是矩形，求矩形的面积的最大值类型二：涉及坐标、向量数量积等问题8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．求过点、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．9．已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线交于不同的两点，，若存在点，使得成立，求实数的取值范围．10．如图所示，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）若点的坐标为，，求的值；（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围．11．已知，，若动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围．高考预测二：定值问题12．已知焦距为的椭圆中心在原点，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行的直线交椭圆与，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，求证：．13．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的上方，若，且直线，分别与轴交于点，，求线段的长度．14．已知椭圆的两个焦点分别为，．点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为，．过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求，满足的关系式．15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．高考预测三：定点问题16．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在一定点，，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．17．为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点．18．已知