第09讲函数的概念及其表示

第9讲函数的概念及其表示1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法；4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。一、函数的定义及概念概念1、函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A→B2、函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、函数的三要素的理解（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则。例如：，就是对自变量求平方。（3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值。4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。二、区间及相关概念1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示三、求函数的定义域的依据1、分式中分母不能为零；2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中；奇次方根的被开方数取全体实数，即中，；3、零次幂的底数不能为零，即中；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。四、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。五、分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象。六、函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题（1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出考点一：对函数概念的理解例1．下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D．生活质量与人的身体状况间的关系【答案】C【解析】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；对选项C：耗电量与时间t的关系是，是确定的函数关系；对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.故选：C【变式训练】下列图象中，表示函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.故选：D.考点二：区间概念的理解例2．用区间表示集合__________．【答案】【解析】集合用区间表示为.故答案为：【变式训练】（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（）A．B．C．或D．【答案】ABD【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示，B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有C可以，区间形式为，故选：ABD.考点三：求具体函数的定义域例3．函数的定义域是（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】的自变量需满足，所以定义域为，故选：A【变式训练】函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．故选：C.考点四：求抽象函数的定义域例4．已知函数的定义域为，求函数的定义域.【答案】【解析】∵函数的定义域为∴，解之得：故函数的定义域为：【变式训练】已知的定义域为，求的定义域.【答案】【解析】令，，由二次函数的性质可得，所以的定义域为.考点五：判断两个函数是否相等例5．下列各函数中，与函数表示同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故的定义域为,对于A，的定义域为，且解析式与相同，故为同一个函数，对于B,，故不是同一个函数，对于C,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，对于D,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选:A【变式训练】（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】ABD【解析】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，故不是同一函数，A错；对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错；对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，D错.故选：ABD考点六：画简单函数的图象例6．作出下列函数的图象.（1）y＝x＋2，|x|≤3；（2），x∈Z且|x|≤2.【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析【解析】（1）由题意，，函数的图象如图所示：（2）由题意，，函数的图象如图所示：【变式训练】作出函数的图像．【答案】答案见解析【解析】因为所以函数的图像如图所示：考点七：求函数的解析式例7．已知一次函数满足，则（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】设，则,因为，所以，解得，所以，.故选：B.【变式训练】（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，则，故，所以；（2）由题设①，结合②，3×①②得：，故.考点八：求分段函数的函数值例8．设，则（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】由，可知.故选：C.【变式训练】已知函数，那么________．【答案】【解析】∵，∴，∴.故答案为：.考点九：求简单函数的值域例9．若函数的定义域是，则它的值域________．【答案】．【解析】∵函数是反比例函数，则时，，且，所以值域为．故答案为：．【变式训练】已知函数，则的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，故，故函数值域为.故选：B1．下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于ABD选项，对于每个都有唯一对应的与之对应，ABD选项中的图象均为函数的图象；对于C选项，存在，使得这个有两个与之对应，C选项中的图象不是函数的图象.故选：C.2．区间等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】区间表示由的实数组成的集合.故选：C3．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由由意义可得，，所以且，所以函数的定义域为，故选：B.4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为.故选：C5．已知集合是实数集的子集，定义，若集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，在上图象随着x的增大，y减小，所以，的对称轴为轴，因为，所以，所以，故选：B.6．下列函数中，是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】选项A中，函数的定义域是，函数的定义域是，不是同一函数；选项B中，函数的定义域是，函数的定义域是，不是同一函数；选项C中，两个函数定义域都是，对应法则也相同，是同一函数；选项D中，两者对应法则不相同，前者对应自变量直接平方，后者对应自变量减去1后的平方，不是同一函数．故选：C．7．若函数，且，则实数的值为（）A．或B．或3C．D．3【答案】B【解析】令，则，可得：，即，∵，∴.故选：B.8．已知函数的对应关系如下表，则（）x01232130320A．0B．2C．D．1【答案】B【解析】，．故选：B．9．（多选）下列对应关系中不是到的函数的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A，可化为，显然对任意(除外)，y值不唯一，不符合函数的概念，故A满足题意；B，符合函数的定义，故B不合题意；C，，在此时对应关系无意义，不符合函数的定义，故C满足题意；D，，此时，不符合函数的定义，故D满足题意.故选：ACD.10．若的定义域为，则的定义域为______．【答案】【解析】由的定义域为，令，解得，所以的定义域为.故答案为：.11．函数的值域为__________________【答案】【解析】因为二次函数的对称轴为，所以当时因为当时，时，即，所以值域为故答案为：12．已知，求_______．【答案】0【解析】，.故答案为：0.13．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为是一次函数，所以设，，又因为，所以，整理得，故，解得，所以.（2）因为①，所以②，由①②得：，解得：.14．已知函数.（1）求，的值；（2）作出函数的简图；（3）由简图指出函数的值域；【答案】（1），；（2）函数的简图见解析；（3）【解析】（1）由，∴，.（2）简图如图所示：（3）简图可知函数的值域为1．下列各组函数表示相同函数的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.故选：C2．函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，解得.故选：D.3．已知的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为的定义域为，所以，所以，所以的定义域为．故选：C4．已知函数的定义域为，则其值域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，当时，，故值域为.故选：A5．下列函数中，值域为的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，，则其值域为，A错误；对于B，，则其值域为，B正确；对于C，，则其值域为，C错误；对于D，，则其值域为，D错误.故选：B.6．函数，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，则，故.故选：D.7．（多选）下列是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.8