湖南省长沙市高桥中学 2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

湖南省长沙市高桥中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.按右面的程序框图运行后,输出的应为【

】.

A.

B.

C.

D.参考答案：C第一次循环：，不满足条件，再次循环；第二次循环：，不满足条件，再次循环；第三次循环：，不满足条件，再次循环；第四次循环：，不满足条件，再次循环；第五次循环：，满足条件，输出S的值为40。2.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：C由程序框图可知:故选C.考点：本题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力.3.一组数据由小到大依次为。已知这组数据的中位数为6，若要使其标准差最小，则的值分别为（

）A．3，9 B．4，8 C．5，7 D．6，6参考答案：D4.已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（

）（A）1

（B）

（C）

（D）3参考答案：A5.已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（）A．[，1） B．（0，] C．[，] D．（0，]参考答案：C【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】根据分段函数是在R上单调递减，可得0＜a＜1，故而二次函数在（单调递减，可得．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga（x+1）+1]max即可得a的取值范围．【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，根据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C．6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（

）A．81盏

B．112盏

C．114盏

D．162盏参考答案：D7.设,函数,则的值等于（

）A．8

B．7

C．6

D．5参考答案：A略8.设实数a，b，c满足：，则下列不等式中不成立的是（）A.

B.

C.

D.参考答案：D因为，所以，所以，不等式右边全部成立；选项A，，成立选项B，由A可得，成立选项C，，成立

9.设集合，则满足的集合的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．8参考答案：C10.关于的不等式()的解集为,则的最小值是A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是______．参考答案：试题分析：，，，，存在两项使得，，，，，比较可得当时，有最小值为.考点：基本不等式；等比数列的通项.【易错点睛】本题考查了基本不等式；等比数列的通项.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．参考答案：a＞0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，运用参数分离，根据函数的定义域即可解出a的取值范围．【解答】解：∵曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，∵x＞0，∴＞0，即a＞0．∴实数a的取值范围是a＞0．故答案为：a＞0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．13.复数在复平面内对应的点到原点的距离为______________。参考答案：1略14.过坐标原点O作曲线的切线l，则曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为______参考答案：.【分析】设切点为，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点可得切线方程，进而由定积分求面积即可.【详解】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.15.设是单位向量，且的最大值为________.参考答案：16.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若首项，公差，S8＝S12，则当Sn取得最小值时n的值为___________参考答案：1017.圆（θ为参数）上的点P到直线（t为参数）的距离最小值是______．参考答案：【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，所以所求距离的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：略19.（本题满分14分）已知函数（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在（e,f(e)）处的切线方程(e是自然对数的底数)（2）求函数f(x)的单调区间参考答案：略20.（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21:4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

参考答案：解（1）设，，记，则，

由，

化简得，解得或（舍去），所以，．

答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，

即

记，则，

令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.

答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.

21.(本小题满分12分)已知数列中，，（为数列的前n项和），数列为等差数列且满足，；（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：所以，（2）由（1）知∵为等差数列∴其公差∴∴…………………9分∴当时，当时，综上可知……………12分22.已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y﹣5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切．（Ⅰ）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（﹣2，﹣2），求?的最小值；（Ⅱ）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据点与直线的对称性求出圆心，利用数量积的坐标公式即可求?的最小值；（Ⅱ）利用直线和圆的方程联立，结合直线的斜率公式即可得到结论．【解答】解：Ⅰ）设圆心C（a，b），则A，C的中点坐标为（），∵圆心C与点A（2，1）关于直线4x+y﹣5=0，∴，解得，∴圆心C（0，0）到直线x+y+2=0的距离r=，∴圆C的方程为x2+y2=2．设Q（x，y），则x2+y2=2，?=（x﹣1，y﹣1）?（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，作直线l：x+y=0，向下平移此直线，当与圆相切时，x+y取得最小值，此时切点坐标为（﹣1，﹣1），