极点配置设计与间接自校正控制方法

极点配置设计与间接自校正控制方法极点配置(PolePlacement)设计是控制系统中一种常用的设计方法，它能适应逆不稳(Inverseinstability)系统和开环不稳定的情况，并且有设计方法直观、动态性能好、系统稳定的特点。设已知被控对象或过程可用下列方程描述：A(z-1)%)=z项B(zt)"q)+v(k) (3-1)式中，y(k)、u(k)、v(k)分别为系统的输出、控制和干扰，d为纯延时。A(z-1)=1+az-1H faz-na"aB(z-1)=b+bz-1+bz-2+ +bz-nb°' 2 "b我们打算设计的控制器是F(z-1)u(k)=R(z-1)y(k)-G(z-1)y^^) (3-2)其中F(z-1)、R(z-1)、G(z-1)为待定多项式，七Q)为参考输入。于是，极点配置系统控制的方框图如下图3-2所示：1A(z-1)*(k) .R(z-1)u(k)z-dB(z-1)A(z-1) y(k)F(z-1)——►Qs) ►—^29 —►G(z-1)F(z-1)图3-2极点配置系统控制方框图该系统的输出表达式为

z-dB(zT)R(zT)

y= y+(QA(z-1)F(z-1)+z-dB(z-i)G(z-1)F(z-1) vA(z-1)F(z-1)+z-dB(z-1)G(z-1)&)闭环特征多项式为A(z-1)F(z-1)+z-dB(z-1)G(z-1)=A(z-1) (3-3)c极点配置的设计任务就是要根据系统的固有性质和设计要求决定期望的闭环特征多项式A(z-1)，通过式(3-3)确定出F(z-1)和G(z-1)来加以实现。该式称为cDiophantine方程式。设期望的输入输出表达式为(不考虑干扰)气(z-1)山广吃(z-1)yr(k)式中，A^(z-1)为期望的传递函数分母多项式；Bm(z-1)为期望的传递函数分子多项式，并且两多项式互质。为方便起见，我们将所有多项式括号内的z-1省去，下一步的思路就是让输出关于参考输入的传递函数与期望传递函数相等，即(3-4)z-dBR z-dB(3-4) = mAF+z-dBGAm所设计的控制器会使原被控对象或过程的一些零点被抵消掉。从工程经验来看，我们不希望不稳定的零点和阻尼差的零点被控制器抵消，应将其保留下来。于是我们将B分解为两部分(3-5)式中，B-为不稳定和阻尼差的零点，B+为稳定的可被抵消的零点。被抵消的零点是由控制器的极点来实现的，所以设F=FB+F=FB+1被保留的零点应有期望传递函数分子多项式反映出来，所以(3-7)式中，bm为期望的零点，它应考虑稳态时，期望输出无误差。于是式(3-4)变为

(3-8)z-dB-R _z-dB'B-(3-8)AF1+z-dB-G A’"式（3-8）左右两个式子分子、分母的阶次一般会有差别，因为期望极点往往仅给出闭环主导极点或主要极点，所以为使上式两边分子分母又相同阶次，可引入观测器多项式A0，它应同时出现在右边分子、分母上，而且响应速度不低所以z-dB-R_z-dB'B-A^

AF1+z-dB-G A’*0BmA

AF1+z-dB-GAA0由其分子、分母关系，有R=BA0(3-9)AF^+由其分子、分母关系，有R=BA0(3-9)AF^+z-dB-G=AA0(3-10)实际上，式（3-10）是式（3-3）的简化形式。由于B+被F抵消，所以它应该是A的一个因子，再考虑AA，应有c m0A=B+AA0将其代入式（3-3）并化简，既有式（3-10）。为了获得式（3-2）的控制器，有因果条件限制degR<degFdegG<degF其中deg（.）表示多项式“.”的最高阶次。式（3-3）中，左边的AF应有最高阶次，所以degA=degA+degF由式（3-12）得degA>degA+degG(3-11)(3-12)由Diophantine方程式，有degG<degA，degG至多是degA-1，所以由上式和式（3-11）有degA>2degA-1-degA—degB+ （3-13）式（3-10）中A、B和d均为已知，当AA0确定以后，可求出多项式F和G。当AB-互质时，满足该等式的解有无穷组。事实上，如果%和G0是式（3-10）的解，则F=F+Wz-dB-GG=G0-WA也是其解，其中W为任意多项式。为使问题有确定的、并且尽可能是最简单的解，我们不妨限定：式（3-10）左边第一项和第二项有相同的阶次，即下面（3-14）等式成立；从待定控制器参数可解角度，右边的阶次应小于等于左边的阶次，即下面的（3-15）成立。以下是反映这一思路的一组表达式：（3-14）（3-15）degF=degB-1+d-1（3-14）（3-15）degG=degA-1degA<degAF-degA先将极点配置算法做一归纳：已知：过程多项式A、z-dB；性能要求：期望的传递函数分母多项式Am相容条件：degA>2degA-1-degA一degB+B广BmB（1） 对多项式B进行因式分解：B=B-B+；（2）由式（3-14）确定F和G的阶次：综合考虑式（3-13）和式（3-15），确1定A0的阶次（尽可能低），并由不低于A^响应速度来确定A0的系数；（3） 由式（3-10）解出F和G；1（4）由式（3-6）确定F，由式（3-9）确定R，最后由式（3-2）算出控制量。应该指出：步骤（2）是可选的。如故不选它，算法是：步骤1）---步骤（3）---步骤（4）。在步骤（3）中，考虑相容条件，可选取然后在式（3-10）中，假定它的左右两边有相同阶次，进而确定F和G的阶次，1再根据左右两边有相同阶次的系数应相等列代数方程，并解之。当B的零点全部可被抵消时，有B+=B/、B-=«，式（3-10）变为AF+z-dbG=AA1 0 m0当B的零点全部不可抵消时（逆不稳情况），有B+=1,B-=B下面我们看一个极点配置的例题：设有被控对象：G-1.3z-1+0.3z-2）y（k）=（z-2+1.5z-3^u^^+v^k），按极点配置法设计控制器，使期望传递函数分母多项式为：a=1+0.9z-1+0.2z-2,并且期望输出跟踪m参考输入无稳态误差。解：已知A=1-1.3z-1+0.3z-2，B=1+1.5z-1，degA=2,degB=1,d=2对B进行因式分解：B=B-B+=1+1.5z-1，式中B-=1+1.5z-1,B+=1则degF=degF=degB-+d-1=2，degG=degA-1=1所以设F=1+fz-1+fz-2,G=g0+g]z-1由式（3-15）得degA0<degAF—degA=2由式（3-13）得degA0>2degA—1—degA=1A0的阶次可取1或2.取degA0=1，设A0=1+0.3z-1（它比Am有更快的响应速度），由式（3-10）比较两边系数可得：F=F=1+2.5z-1+1.94z-2,G=1.48-0.388z-11为使期望输出无误差，取：B=Amf1）=21=0.84m B- 2.5（1）由式（3-7）得Bm=B'B-=0.84（1+1.5z-1）再有式（3-9）的R=B'A0=0.84+0.252z-1由式（3-2）可求出控制量：u(Q=-2.5u(k])T・94u(k疽。・84y(.)+0.252y«1)-1.48yQ)-1.48yQ)+0.388yQ-1)3.2.2间接自校正控制方法上面介绍的极点配置设计法是在被控对象或过程已知的情况下进行的，即在已知A(z-i)和B(z-1)前提下设计控制器。事实上，很多情况下，过程参数未知或者时变，这就要涉及估计参数的问题，于是控制系统的设计进入了我们讨论的间接自校正控制的范畴。我们仍以上面讨论的极点配置设计法为基础，叙述间接自校正的思想和方法。按分离性原理进行了控制器极点配置设计，余下的任务是要设计估计器，所以需要选择恰当的参数估计法对控制参数进行估计。一般说来，递推最小二乘法为首选。将参数估计的结果用于求控制器的参数，即多项式F(z-1)、R(z-1)、G(z-1)的系数，然后计算出控制量。由于这里的控制器参数不是直接估计出来的，所以称为间接自校正控制。设被控对象或过程模型如式(3-1)所示，则式中中T=[-y-y Vu(v，，,,uJ(k-1) (k-1) \k-n)\k-d) \k-d-n)TOC\o"1-5"\h\za b0t=[a，…a,b,...,b]1 na0 nb采用具有遗忘因子的递推最小二乘法，其参数估计公式为\o"CurrentDocument"0=0 +K[y-中0 ](k) (k-1) (k)(k) (k-1)(k-1)(3-16)\o"CurrentDocument"K=P中[人+中TP中 ]-1(3-16)(k) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)P(k广[」K(gT(k-1菖k-1)/入式中，人为遗忘因子。用遗忘递推最小二乘法和极点配置法的间接自校正控制算法如下：前期工