高考数学第一轮总复习向量的字符运算课件文-A3演示文稿设计与制作【继续教育专业】

高考数学第一轮总复习向量的字符运算课件文-A3演示文稿设计与制作【继续教育专业】高考数学第一轮总复习5.2向量的字符运算课件文-A3演示文稿设计与制作第五章平面向量35.2

向量的字符运算

考点搜索●平面向量的数量积●平面向量数量积的重要性质●两个向量垂直的充要条件●常用的模的等式和不等式高考猜想字符运算是向量的核心内容，是高考的一个重要命题点.4

一、平面向量数量积的有关概念1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，θ=①___，当且仅当a、b反方向时，θ=②______，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.0°180°5

2.如果a，b的夹角为③____，则称a与b垂直，记作④_______.3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则⑤__________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即⑥______________.规定0·a=⑦___.当a⊥b时，θ=⑧____，这时a·b=⑨____.

二、a·b的几何意义1.一个向量在另一个向量方向上的投影.90°a⊥b|a||b|·cosθa·b=|a||b|cosθ090°06感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料设θ是a与b的夹角，则⑩_________称作a在b方向上的投影.11_______称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当12______________时，它是正数；当13___________________时,它是负数；当θ=90°时,它是零.2.a·b的几何意义.a·b等于14___与b在a方向上的投影的乘积.3.a·b的性质.设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：|a|cosθ|b|cosθ0°≤θ＜90°90°＜θ≤180°|a|10(1)e·a=a·e=|a|cosθ;(2)a⊥b15________;(3)当a与b同向时，a·b=16___________；当a与b反向时，a·b=17____________；特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|=18_____;(4)cosθ=19_________;(5)|a·b|≤|a|·|b|.a·b=0|a||b|-|a||b|11

盘点指南：①0°;②180°;③90°;④a⊥b;⑤|a||b|·cosθ;⑥a·b=|a||b|cosθ;⑦0;⑧90°;⑨0;⑩|a|cosθ;11|b|cosθ;120°≤θ＜90°;1390°＜θ≤180°;14|a|;15

a·b=0;16|a||b|;17-|a||b|;18;1912已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=____.

解：所以|5a-b|=7.713若a,b,c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)

解：A、B、C是运算律，而a·b=λ∈R,

b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选D.D14在△ABC中，已知向量与满足且则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形

解：在△ABC中，(M在∠BAC的平分线上)，15由知所以⊥，则△ABC是等腰三角形；因为所以则∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形.故选D.16

1.在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是______.

解：设所以故填-2.题型1向量的数量积运算17

点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.18已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，c⊥d？

解：要使c⊥d，即c·d=0，即(5a+3b)·(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0，所以15×4+(9+5k)×2×3cos+3k·9=0，解得k=.所以当k=时，c与d垂直.192.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4，|b|=2.求：(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b).

解：依题意得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12，所以|a+b|=

题型2向量的模20(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=16×19，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a·b-2b2=42-(-4)-2×22=12.

点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.21

已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a-b)⊥c；(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.

解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间的夹角均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|·cos120°=0,所以(a-b)·c=0，所以(a-b)⊥c.22(2)解法1：因为|ka+b+c|>1，即|ka+b+c|2>1，即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因为a·b=b·c=a·c=-，所以k2-2k>0，所以k<0或k>2.

解法2：由已知a+b+c=0,故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|>1(k∈R)|k-1|>1k<0或k>2.23

3.已知向量a、b、c两两所夹的角都为120°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c与a的夹角.解：由已知得(a+b+c)·a=a2+a·b+a·c=1+1×2×cos120°+1×3×cos120°=，又|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+4+9+2×1×2×cos120°+2×1×3×cos120°+2×2×3×cos120°=3，题型3向量的夹角24所以|a+b+c|=.设a+b+c与a的夹角为θ，则又θ∈［0，π］，所以θ=.故向量a+b+c与a的夹角为.

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点评：求两向量的夹角，就是先利用数量积与模的积之比求得夹角的余弦值，而数量积与模的积又是通过基本向量之间的和、差、数量积运算而求得，这正体现了运算的综合性与交互性.26272829

1.向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题.2.向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题.在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为