湖南省长沙市第九中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析

湖南省长沙市第九中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为an=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π参考答案：D【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】解：选项A：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项B：是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，C是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项D：半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，半径为r圆的面积S=πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提，单位圆的面积S=π为结论；故选：D．2.（5分）下列说法正确的个数为（）①彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就肯定能中奖；②概率为零的事件一定不会发生；③抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大；④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么这种游戏是公平的． A． 1 B． 2 C． 3 D． 0参考答案：B考点： 命题的真假判断与应用．专题： 概率与统计．分析： 根据概率的定义及实际含义，分别判断4个结论的真假，可得结论．解答： 解：对于①，彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就不一定能中奖，故错误；对于②，概率为零的事件为不可能事件，一定不会发生，故正确；对于③，抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面一样大，故错误；对于④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，则两人获胜的概率均为，那么这种游戏是公平的，故正确；故说法正确的个数为2个，故选：B点评： 本题以命题的真假判断为载体考查了概率的定义及实际意义，难度不大，属于基础题．3.已知二面角α-l-β为

，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（

）(A)

(B)2

(C)

(D)4参考答案：C解析：如图分别作

，连，又当且仅当，即重合时取最小值。4.实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.9参考答案：D【考点】线性回归方程．【分析】根据五组（x，y）的值计算、，利用线性回归方程过样本中心点求出的值．【解答】解：根据五组（x，y）的值，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（2+4+4+7+8）=5，且线性回归方程=0.7x+过样本中心点，则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9．故选：D．5.若命题：，：，则是的

（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略6.点关于直线的对称点是（

）A.

B.

C.D.参考答案：D7.抛物线=2的焦点坐标是

A.（，0）

B.（0，）

C.（0，）

D.（，0）

参考答案：C8.若回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C9.若实数满足，则曲线与曲线的（

）A.实轴长相等

B.虚轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等参考答案：D10.直线（为实常数）的倾斜角的大小是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.空间四边形中，分别是的中点，则与的位置关系是_____________；四边形是__________形；当___________时，四边形是菱形；当___________时，四边形是矩形；当___________时，四边形是正方形参考答案：异面直线；平行四边形；；；且12.设成立，可得，由此推得

．参考答案：13.设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2017（0）=

．参考答案：1【考点】63：导数的运算．【分析】由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，故只须研究清楚f2010（x）是一个周期中的第几个函数即可得出其解析式．【解答】解：由题意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2017=4×504+1，f2010（x）是一周中的第三个函数，∴f2017（x）=cosx．∴f2017（0）=cos0=1故答案为：114.复数（1﹣i）（2+3i）（i为虚数单位）的实部是_________．参考答案：515.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为______________。参考答案：116.△ABC中，已知a=，c=3，B=45°，则b=． 参考答案：【考点】余弦定理． 【专题】转化思想；综合法；解三角形． 【分析】由条件利用由余弦定理求得b=的值． 【解答】解：△ABC中，∵已知a=，c=3，B=45°，∴由余弦定理可得b===， 故答案为：． 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题． 17.函数的单调递增区间为_______.参考答案：(0,1)函数有意义，则：，且：，由结合函数定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）若不等式的解集是，求不等式的解集.（2），试比较与的大小。参考答案：解：（1）由题意：，是的两个根，解得

为，解得，故所求解集为(2)

=

略19.（1）已知函数,过点Ｐ的直线与曲线相切，求的方程；（2）设，当时，在１,４上的最小值为，求在该区间上的最大值．参考答案：解：（1）设切点为（，切线的斜率，则切线的方程为：因为过点P（1，，所以，

解得

或

故L的方程为

或，即

或

。

（2）令得，，故在上递减，在上递增，在上递减。当时，有，所以在上的最大值为又，即。所以在上的最小值为，得故在1，4上的最大值为略20.已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．21.已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=18．数列{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（1）由等比数列通项公式，结合题意算出数列{an}的公比q=±3．讨论可得当q=﹣3时与题意矛盾，故q=3可得an=2×3n﹣1．由此得到{bn}的前4项和等于a1+a2+a3=26，利用等差数列的通项公式算出公差d=3，得bn=3n﹣1；（2）根据等差数列的性质，可得b1，b4，b7，…，b3n﹣2和b10，b12，b14，…，b2n+8分别组成以3d、2d为公差的等差数列，由等差数列求和公式算出Pn=n2﹣n、Qn=3n2+26n．作差后，因式分解得Pn﹣Qn=n（n﹣19），结合n为正整数加以讨论，即可得到Pn与Qn的大小关系，从而使本题得到解决．【解答】解：（1）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2==9，q=±3．①当q=﹣3时，a1+a2+a3=2﹣6+18=14＜20，这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．②当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意．∴an=a1qn﹣1=2×3n﹣1设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26，得4b1+d=26，结合b1=2，解之得d=3，所以bn=bn+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1综上所述，数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2×3n﹣1、bn=3n﹣1；（2）∵b1，b4，b7，…，b3n﹣2组成以3d为公差的等差数列，∴Pn=nb1+?3d=n2﹣n；同理可得：b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，且b10=29，∴Qn=nb10+