广东省肇庆市杏花中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析

广东省肇庆市杏花中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21参考答案：C考点：数列的概念及简单表示法．

分析：根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．解答：解：∵a4=a2+a2=﹣12，∴a8=a4+a4=﹣24，∴a10=a8+a2=﹣30，故选C点评：这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．2.对于任意实数a、b、c、d，下列命题：①如果a＞b，c≠0，那么ac＞bc；

②如果a＞b，那么ac2＞bc2；③如果ac2＞bc2，那么a＞b；

④如果a＞b，那么．其中真命题为（）A．① B．② C．③ D．④参考答案：C【考点】不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．【分析】①c＜0时，不成立；②c=0时，不成立；③由不等式的基本性质可知成立；④取a＞0，b＜0时不成立．【解答】解：①当c＜0时，∵a＞b，∴ac＜bc，故不成立；②c=0时，ac2=bc2=0，，故②不成立；③∵ac2＞bc2，∴a＞b，故③成立；

④取a=2，b=﹣3，则不成立．综上可知：只有③正确．故选C．3.已知（为常数），在上有最大值，那么此函数在上的最小值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=5，则|AF1|﹣|BF2|等于（）A．3 B．8 C．13 D．16参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，由|AB|=5，可知|AF2|+|BF2|=5，从而可求|AF1|﹣|BF2|．【解答】解：∵过F2的直线交椭圆于点A，B，∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，∵|AB|=5，∴|AF2|+|BF2|=5∴|AF1|﹣|BF2|=|AF1|+|AF2|﹣（|AF2|+|BF2|）=8﹣5=3，故选A．5.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是(

)．(A)(0，+∞)

(B)(0，2)

(C)(1，+∞)

(D)(0，1)参考答案：D6.设，则（

）A.2 B. C. D.参考答案：C【分析】取，得到，取，得到，得到答案.【详解】令，则原式化为令，得，所以.【点睛】本题考查了二项式定理，分别取是解题的关键.7.“0＜m＜3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：m＞4时，椭圆的焦点在y轴上，此时a2=m，b2=4，c2=m﹣4，故＞，解得：m＞，0＜m＜4时，椭圆的焦点在x轴上，此时a2=4，b2=m，c2=4﹣m，故＞，解得：0＜m＜3，故“0＜m＜3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充分不必要条件，故选：A．8.互不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分（

）A

B

C

D

参考答案：D略9.已知直线与曲线在点P（1，1）处的切线互相垂直，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D10.设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是：A、， B、， C、， D、，参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；参考答案：12.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是

▲

。参考答案：30略13.线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化，则点M的轨迹方程为________.参考答案：14.已知函数f（x）=则f（f（））=．参考答案：【分析】由此得f（）==﹣2，由此能求出f（f（））．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=3﹣2=．故答案为：．15.现有一大批种子，其中优良种占30℅，从中任取8粒，记X为8粒种子中的优质良种粒数，则X的期望是：

参考答案：2.416.在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为

．参考答案：36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，

∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2，∴R=3，∴S=4πR2=4π?（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．17.给出下列四个命题：①不等式对任意恒成立；

②；③设随机变量X～．若，则；④设随机变量X～，则．其中，所有正确命题的序号有

．参考答案：①③由题意可知，对于①中，根据绝对值的三角不等式可知，所以是正确的；对于②中，利用分析法，可求得，所以不正确；对于③中，根据正态分布的对称性，可知；对于④中，根据随机变量，则，所以不正确，所以正确命题的序号为①③．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）已知，，且与夹角为，求（1）；（2）与的夹角参考答案：（2）60°。19.设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（I）求?的值，并化简f（x）；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用诱导公式求得φ的值，可得函数的解析式．（II）由条件求得A，再利用正弦定理求得sinB的值，可得B，再利用三角形内角和公式求得C的值．【解答】解：（I）∵=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），因为函数f（x）在x=π处取最小值，所以sin（π+φ）=﹣1，由诱导公式知sinφ=1，因为0＜φ＜π，所以，所以．（II）因为，所以，因为角A为△ABC的内角，所以．又因为，所以由正弦定理，得，也就是，因为b＞a，所以或．当时，；

当时，．20.(本题满分12分)已知两点，点在以为焦点的椭圆，且构成等差数列。（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，当最大时，求直线的方程参考答案：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为．∵构成等差数列，，又∵c=1，，椭圆的方程为．

。。。。。。。。。4分（Ⅱ）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

。。。。。。。。。6分设坐标原点到动直线的距离为，则

。。。。。。。。。8分时

最大此时故所求直线方程为或

。。。。。。。。。12分

21.（本小题满分12分）

已知命题，命题．

(I)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(II)若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．参考答案：22.（本小题满分13分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到