湖南省岳阳市临湘大成学校2021年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省岳阳市临湘大成学校2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设分别为直线和圆上的点，则的最小值为（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A试题分析：设圆心为，直线，则，所以选A.考点：直线与圆位置关系2.设a∈R，则“a＝1”是“函数在定义域上是奇函数”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件参考答案：A3.设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4M：对数值大小的比较．【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．4.若实数，满足条件则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是（

）A．1 B．2 C．3

D．参考答案：C6.过点（，0）引直线与曲线交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（

）A.

B. C. D.参考答案：【答案解析】B解析：由，得x2+y2=1（y≥0）．

所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），

设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，

则-1＜k＜0，直线l的方程为y-0=k(x?)，即kx?y?k＝0．

则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．

则S△ABO＝

=．

令，则S△ABO＝，当t＝，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=．故选B．【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．7.已知点在直线上，其中，则的最小值为

（

）A.

B.8

C.9

D.12参考答案：B8.下面是关于公差的等差数列的四个命题:数列是递增数列

数列是递增数列

数列是递增数列

数列是递增数列

其中的真命题为

A.

B.

C.

D.参考答案：D9.某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C试题分析：第一个图是选项A的模型；第二个图是选项B的模型；第三个图是选项D的模型.考点：三视图10.设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则A. B. C. D.

参考答案：B本题考查集合间的基本关系。Q=｛x︱｝，所以。选B。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题中：

①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；②与不共面的四点距离都相等的平面共有４个。③正四棱锥侧面为锐角三角形；④椭圆中，.离心率e趋向于0，则椭圆形状趋向于扁长。其中所有真命题的序号是

▲

..参考答案：②③12.已知是单位向量，，则在方向上的投影是_______。参考答案：答案：13.下列结论中是真命题的是__________(填序号)．①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－b2a＜0；②已知甲：x＋y≠3，乙：x≠1或y≠2，则甲是乙的充分不必要条件；③“，使>3”的否定是“，使3”参考答案：②③略14.已知的定义域为实数集,若恰有个不同实数根，且这个不同实数根之和等于，则

．参考答案：考点：函数的零点、图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题考查的是函数的零点的个数等有关知识的综合运用.解答时先依据题设条件搞清楚若是方程的根,则一定是方程的根.即它的根一定是成双对的出现,且满足其和为定值.因此在求解时,先是方程的一个根,则也是方程的一个根,再运用求得,然后建立方程求得.15.设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=__▲_____参考答案：16.将边长为2的正方形沿对角线折起，以，，，为顶点的三棱锥的体积最大值等于

．参考答案：略17.设抛物线的焦点为F,准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么（

）A．

B．

C．

8

D．

16参考答案：C略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足a1=3，an+1=an2+2an，n∈N*，设bn=log2（an+1）．（I）求{an}的通项公式；（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）；（III）若=bn，求证：2≤＜3．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（I）由题意可知：，，两边取对数，即可求得bn+1=2bn，则{bn}是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得an，代入即可求得an；（II）利用数学归纳法即可求证1+++…+＜n（n≥2）；（III）．证明：由得cn=n，，利用二项式定理展开，，当n=1时显然成立．所以得证．【解答】解：（I）由，则，由a1=3，则an＞0，两边取对数得到，即bn+1=2bn（2分）又b1=log2（a1+1）=2≠0，∴{bn}是以2为公比的等比数列．即（3分）又∵bn=log2（an+1），∴（2）用数学归纳法证明：1o当n=2时，左边为=右边，此时不等式成立；

2o假设当n=k≥2时，不等式成立，则当n=k+1时，左边=（6分）＜k+1=右边∴当n=k+1时，不等式成立．综上可得：对一切n∈N*，n≥2，命题成立．（9分）（3）证明：由得cn=n，∴，首先，（10分）其次∵，∴，，当n=1时显然成立．所以得证．（15分）【点评】本题考查等比数列通项公式，对数的运算性质，考查数学归纳法求证不等式成立，二项式定理，考查计算能力，属于难题．19.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足（n+1）bn=an+1﹣，（n+2）cn=，其中n∈N*．（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．参考答案：【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）数列{an}是公差为2的等差数列，可得an=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．代入（n+2）cn=﹣即可得出cn．（2）由（n+1）bn=an+1﹣，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，代入化简可得cn=（bn+bn﹣1）．bn≤λ≤cn，λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．进而得出．【解答】（1）解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．∴（n+2）cn=﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得cn=1．（2）证明：由（n+1）bn=an+1﹣，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，可得：（n+2）cn=﹣=﹣[an+1﹣（n+1）bn]=+（n+1）bn=+（n+1）bn=（bn+bn﹣1），因此cn=（bn+bn﹣1）．∵bn≤λ≤cn，∴λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．∴（n+1）λ=an+1﹣，（n+2）λ=（an+1+an+2）﹣，相减可得：（an+2﹣an+1）=λ，即an+2﹣an+1=2λ，（n≥2）．又2λ==a2﹣a1，则an+1﹣an=2λ（n≥1），∴数列{an}是等差数列．20.(本小题满分12分)

在△ABC中，A、B、C的对边为、b、c，且．（Ⅰ）求角B的最大值；（Ⅱ）设向量，，求的取值范围.参考答案：21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法，写出圆C的直角坐标方程；（2）设P（3+，t），利用距离公式，可得结论．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为，可得直角坐标方程为x2+y2=2，即x2+（y﹣）2=3；（2）设P（3+，t），∵C（0，），∴|PC|==，∴t=0时，P到圆心C的距离最小，P的直角坐标是（3，0）．22.（本小题满分12分)已知函数，其中为常数，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求的最大值；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的值；（Ⅲ）当时，判断方程是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的

个数．参考答案：(I)；(II)；（III）无实根，理由见解析．试题分析：(I)当时，求，求出，从而得出是函数在定义域上唯一的极大值点，即可求出函数的