2021年江西省萍乡市私立中学高三数学文月考试题含解析

2021年江西省萍乡市私立中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在的对边分别为，若成等差数列，则

A.

B.

C.

D.

参考答案：C因为成等差数列，所以，根据正弦定理可得，即，即，所以，即，选C.2.已知集合,集合,那么集合A∩B=(

)A.[2,4] B.[3,4] C.{2,3,4} D.{3,4}参考答案：D【分析】由交集的定义即得解.【详解】集合,集合,由交集的定义：故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.已知命题，命题恒成立。若为假命题，则实数的取值范围为（

A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)

B．f(－1)与f(1)

C．f(2)与f(－2)

D．f(－2)与f(2)

参考答案：D5.当时，的最小值为

A.3

B.

C.2

D.参考答案：B略6.已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）．A.[－4,+∞) B.[－8,+∞) C.[－4,0] D.(0,+∞)参考答案：A【分析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.【详解】解：方程所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点记，画出函数简图如下画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，所以，即故选A.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题7.已知集合，则A．

B．(－2,2)

C．

D．(－2,3)参考答案：A8.在圆内，过点作n条弦，它们的长构成等差数列，若为过该点最短的弦，为过该点最长的弦，且公差，则n的值为A.4 B.5 C.6 D.7参考答案：B9.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35参考答案：B【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B10.如果执行右面的程序框图，如果输出的，则判断框处为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0．若a1+a2≤60，a2+a3≤100，则5a1+a5的最大值为

．参考答案：200【考点】等差数列的通项公式．【分析】易得2a1+d≤60，2a1+3d≤100，待定系数可得5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d），由不等式的性质可得．【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，又a1+a2≤60，a2+a3≤100，∴2a1+d≤60，2a1+3d≤100，∴5a1+a5=6a1+4d=x（2a1+d）+y（2a1+3d）=（2x+2y）a1+（x+3y）d，∴2x+2y=6，x+3y=4，解得x=，y=，∴5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d）≤=200故答案为：20012.已知样本2，3，x，7，8的平均数为5，则样本的方差S2为_________;

参考答案：略13.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF面积的最大值是

．参考答案：12考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，S△ABF=S△OBF+S△AOF，从而可知当直线与y轴重合时，面积最大．解答： 解：，a=5，b=4，c=3，如图，S△ABF=S△OBF+S△AOF，则当直线与y轴重合时，面积最大，故最大面积为×3×8=12．故答案为：12．点评：本题考查了椭圆的图形特征即面积的等量转化，属于基础题．14.已知同一平面上的向量，，，满足如下条件：①；②；③，则的最大值与最小值之差是．参考答案：2考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据②③判断出四边形ABCQ是正方形，并建立坐标系，找出A，B，C及Q的坐标，设出P的坐标，利用向量的坐标运算求出的坐标，由①和向量的模列出关系式，化简后可得到点P的轨迹方程，其轨迹方程为一个圆，找出圆心坐标和半径，根据平面几何知识即可得到|PQ|的最大值及最小值．解答：解：根据②③画出图形如下：并以AB为x轴，以AQ为y轴建立坐标系，∵，∴，则四边形ABCQ是矩形，∵，∴AC⊥BQ，则四边形ABCQ是正方形，则A（0，0），B（2，0），Q（0，2），C（2，2），设P（x，y），∴=（﹣x，﹣y）+（2﹣x，﹣y）=（2﹣2x，﹣2y），∵，∴（2﹣2x）2+4y2=4，化简得（x﹣1）2+y2=1，则点P得轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，∴|PQ|是点Q（0，2）到圆（x﹣1）2+y2=1任一点的距离，则|PQ|最大值是+1，最小值是﹣1，即的最大值与最小值之差是2，故答案为2．点评：本题题考查了向量的线性运算的几何意义，数量积的性质，以及圆的标准方程和两点间的距离公式，解本题的关键是根据题意正确画出图形，并判断出特征，再建立合适的平面直角坐标系，找出动点P的轨迹方程，难度较大，体现了向量问题、几何问题和代数问题的转化．15.已知向量，若，则__________.参考答案：【分析】利用求出，然后求.【详解】向量，若，则即答案为.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了向量的模的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．16.的二项展开式中含的项的系数为

.参考答案：1517.双曲线的离心率为2，其渐近线与圆相切，则双曲线C的方程是______．参考答案：【分析】利用已知条件列出方程，求出a，b然后求解双曲线方程．【详解】由已知离心率，即b2=3a2；又渐近线bx+ay=0与圆（x-a）2+y2=3相切得，联立得a2=4，b2=12，所以双曲线方程为：故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及直线与圆的位置关系的应用，考查中航三鑫以及计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知是自然对数的底数，函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，函数的极大值为，求的值.参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为.求导得………..3分当时，令，解得，此时函数的单调递增区间为； ………..5分当时，令，解得，此时函数的单调递增区间为， .………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，于是当时，函数取到极大值，极大值为，故的值为 .………..13分19.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知、、是中、、的对边,,，．（1）求；（2）求的值．参考答案：【解】（1）在中，由余弦定理得，…………2分

…………2分即，，解得…………2分

（2）由得为钝角，所以…………2分在中，由正弦定理，得则…………2分由于为锐角，则……2分所以………2分20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列．（1）求；（2）证明：．参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）由等差数列中项性质，结合数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式和求和公式；（2）求得时，，再由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．【详解】（1）由1，，成等差数列，得，①特殊地，当n=1时，，得=1．当n≥2时，，②①-②得，=2（n≥2），可知{}是首项为1，公比为2的等比数列．则；（2）证明：当n=1时，不等式显然成立n≥2时，，则．21.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥AB，且，．（Ⅰ）求证：MN∥平面BEC；（Ⅱ）求二面角N﹣ME﹣C的大小．参考答案：【分析】（Ⅰ）过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF，推导出四边形NBFM为平行四边形，从而MN∥BF，由此能证明MN∥平面BEC．（Ⅱ）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF．因为MF∥DC，，所以．…（2分）又，所以．故，…（4分）所以四边形NBFM为平行四边形，故MN∥BF，而BF?平面BEC，MN?平面BEC，所以MN∥平面BEC；…（6分）解：（Ⅱ）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，直角坐标系，则E（3，0，0），N（0，1，0），M（1，0，2），C（0，3，3），=（2，0，﹣2），=（﹣1，3，1），=（﹣2，0，2），=（﹣3，1，0），设平面MEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得，设平面MNE的法向量为，则，即，取x1=1，得，，所求二面角的大小为…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．22.已知函数.（1）求函数f(x)的极值；（2）当时，求证：.参考答案：（1），

…1分

由得；由得。

…3分

故当时取得极小值，无极大值。