湖南省娄底市南山中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试卷含解析

湖南省娄底市南山中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y＝a|x|(a＞1)的图象是()参考答案：B略2.在函数y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin（2x+）、y=tan（2x+）中，最小正周期为π的函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，y=|Asin（ωx+φ）|的周期为，y=Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：∵函数y=sin|x|不是周期函数，y=|sinx|是周期等于π的函数，y=sin（2x+）的周期等于=π，y=tan（2x+）的周期为，故这些函数中，最小正周期为π的函数的个数为2，故选：B．3.一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（

）A．30°

B．45°

C.60°

D．75°参考答案：C设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，∴母线与底面所成角的余弦值==，∴母线与底面所成角是60°．故选：C．

4.已知，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2D．2参考答案：A【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】由由已知条件求出tanα

值，化简sin2α﹣sinαcosα=，把tanα值代入运算．【解答】解：∵，∴，∴tanα=2．∴sin2α﹣sinαcosα====，故选A．5.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（

）A、与共线

B、与共线C、与相等

D、与相等

参考答案：B6..两直角边分别为1,的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是(

)A. B.3π C. D.参考答案：A【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算公式可得．【详解】由题得直角三角形的斜边为2，则斜边上的高为.由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中，故选：．【点睛】本题考查旋转体的定义，圆锥的表面积的计算，属于基础题.7.设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（

）A．（4，2）

B．（1，3）

C．（6,2）

D．（3,1）参考答案：D8.如果，且，那么下列不等式成立的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由，且，可得．再利用不等式的基本性质即可得出，．详解】，且，．，，因此．故选：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9.,的零点为a，,g(x)的零点为b，,的零点为c,则a，b，c的大小关系是A.

B.C.

D.参考答案：B10.等比数列的第四项等于A. B.0 C.12 D.24参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校共有师生2400人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本.已知从学生中抽取的人数为110人，则该校的教师人数是________.参考答案：20012.若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，则对于任意的x∈，不等式a≥2x﹣恒成立，结合函数的单调性，求出函数的最大值，可得答案．【解答】解：若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，即对于任意的x∈，不等式1+ax≥x?2x恒成立，即对于任意的x∈，不等式ax≥x?2x﹣1恒成立，即对于任意的x∈，不等式a≥2x﹣恒成立，由y=2x，x∈为增函数，y=，x∈为减函数，故y=2x﹣，x∈为增函数，故当x=2时，y取最大值，即a≥，故实数a的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键．13.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(–1)>0，且方程f(x)=0有三个根0、1、2，那么c的取值范围是

。参考答案：(–∞，0)14.五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2013个被报出的数为

▲

．参考答案：6略15.函数,ks5u若存在三个互不相等的实数使，则实数

．

参考答案：16.（3分）函数的定义域是

．参考答案：{x|x≥﹣1，且x≠0}考点： 函数的定义域及其求法．专题： 计算题．分析： 要求函数的定义域，就是求使函数有意义的x的取值范围，因为函数解析式中有分式，所以分母不等于0，又因为有二次根式，所以被开放数大于等于0，最后两个范围求交集即可．解答： 要使函数有意义，需满足解不等式组，得x≥﹣1，且x≠0∴函数的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠0}故答案为{x|x≥﹣1，且x≠0}点评： 本题主要考查已知函数解析式求定义域，关键是判断函数解析式何时成立．17.已知函数，若存在正整数满足：，那么我们把叫做关于的“对整数”，则当时，“对整数”共有_______________个参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量,且求

(1)及;

(2)若的最小值是,求实数的值.参考答案：解析:

(1)易求,

=

;(2)

==

=

从而:当时,与题意矛盾,

不合题意;

当时,

;

当时,解得,不满足;

综合可得:实数的值为.

19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，点F在棱CC1上，已知，，（1）若点M在棱BB1上，且，求证：平面平面；（2）棱AB上是否存在一点E，使得平面证明你的结论。参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）通过证明，进而证明平面再证明平面平面；（2）取棱的中点，连接交于，结合三角形重心的性质证明，从而证明平面.【详解】（1）在直三棱柱中，由于平面，平面，所以平面平面．（或者得出）由于，是中点，所以．平面平面，平面，所以平面．而平面，于是．因为，，所以，所以．与相交，所以平面,平面所以平面平面（2）为棱的中点时，使得平面，证明：连接交于，连接．因为，为中线，所以为的重心，．从而．面，平面，所以平面【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明.面面垂直的证明要转化为证明线面垂直，线面平行的证明要转化为证明线线平行.20.已知等差数列{an}的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列{bn}满足：对于任意的，等式都成立.（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：；数列{bn}是等比数列；（3）若数列{cn}满足，试问是否存在正整数s，t（其中），使，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(s，t)；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）设数列公差为，由题设得即解得∴数列的通项公式为：.（2）∵∴，①∴，②由②-①得，③∴，④由④-③得，由①知，，∴.又，∴数列是等比数列.（3）假设存在正整数，（其中），使，，成等比数列，则，，成等差数列.由（2）可知：，∴.于是，.由于，所以因为当时，，即单调递减，所以当时，，不符合条件，所以或，又，所以，所以当时，得，无解，当时，得，所以，综上：存在唯一正整数数组，使，，成等比数列.21.已知四棱锥P－ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．(1)求三棱锥C－PBD的体积；(2)若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；(3)边PC上是否存在一点M，使DM∥平面EAC，并说明理由．参考答案：(1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA＝2，∴VC－PBD＝VP－BCD＝××1×2×2＝．(2)证明：∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A.∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，又在△PAB中，∵PA＝A