湖南省娄底市湖泉中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析

湖南省娄底市湖泉中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（

）A．为定值

B．为定值

C.点的轨迹为圆的一部分

D．点的轨迹是圆的一部分参考答案：C设抛物线上两点坐标分别为，则两式做差得，，整理得为定值，所以A正确.因为焦点，所以直线AB方程为.由得，则.∴为定值.故B正确.点的轨迹是以OF为直径的圆的一部分，故D正确.本题选择C选项.2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则a1+a3+a5+a7+a9=（）A．50 B．45 C．90 D．80参考答案：A【考点】数列的求和．【分析】由Sn=n2+n，数列{an}以2为首项，以2为公差的等差等差数列，根据等差数列的性质，即可求得答案．【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，可得a1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n．n=1时满足通项公式，数列{an}以2为首项，以2为公差的等差等差数列，a1+a3+a5+a7+a9=2+6+10+14+18=50，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．3.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．4.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）参考答案：C5.有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法是（）种A．36

B．48

C．72

D．96参考答案：C6.以下判断正确的是(

)A.函数为R上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件B.若命题为假命题，则命题p与命题q均为假命题C.若，则的逆命题为真命题D.“”是“函数是偶函数”的充要条件参考答案：D【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】A.函数为上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件时，函数单调递增，没有极值点，但是，错误B.若命题为假命题，则命题与命题均为假命题，或者真假，或者假真，错误C.若，则的逆命题为：若，则，当时，不成立，错误D.“”是“函数是偶函数”充要条件，时，时偶函数，为偶函数时，正确故答案选D【点睛】本题考查了极值点，命题，不等式性质，函数的奇偶性，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.7.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】直接利用余弦的二倍角公式得解。【详解】将代入上式可得：故选：B【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于基础题。8.在各项均为正数的等比数列中，，则（

）A.4 B.6 C.8 D.8－参考答案：C9.AB为圆O的直径，C为圆O上异于A、B的一点，点P为线段OC的中点，则=（

）A.2

B.4

C.5

D.10参考答案：D略10.复数（

）A．3+2i

B．3－2i

C．2+3i

D．2－3i参考答案：A由复数的运算法则可知：.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为25cm的正方形中挖去腰长为23cm的两个等腰直角三角形（如图），现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是

.参考答案：12.已知，若，则______．______．参考答案：，13.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。参考答案：2:3:-4略14.在平面直角坐标系xOy中，给定两个定点M（﹣1，2）和N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是

．参考答案：1【考点】两直线的夹角与到角问题；直线的斜率．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】∠MPN为弦MN所对的圆周角，故当圆的半径最小时，∠MPN最大，设过MN且与x轴相切的圆与x轴的切点为P，则P点的横坐标即为所求．【解答】解：过M、N两点的圆的圆心在线段MN的中垂线y=3﹣x上，设圆心E（a，3﹣a），∠MPN为弦MN所对的圆周角，故当圆的半径最小时，∠MPN最大．由于点P在x轴上移动，故当圆和x轴相切时，∠MPN最大，此时，切点P（a，0），圆的半径为|a|．因为M，N，P三点在圆上，∴EN=EP，∴（a+1）2+（a﹣2）2=（a﹣1）2+（a﹣4）2，整理可得，a2+6a﹣7=0．解方程可得a=1，或a=﹣7（舍去），故答案为：1．【点评】本题主要考查了圆的性质圆外的角小于圆周角在求解角的最值中的应用，属于基础题．15.已知椭圆，直线l交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的一般方程为．参考答案：2x﹣8y﹣9=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】设以点P（，﹣1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1，y1+y2=﹣2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，（x1﹣x2）﹣4（y1﹣y2）=0，k=﹣【解答】解：设以点P（，﹣1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1，y1+y2=﹣2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴（x1﹣x2）﹣4（y1﹣y2）=0，k=﹣∴点P（，﹣1）为中点的弦所在直线方程为y+1=（x﹣），整理得：2x﹣8y﹣9=0．故答案为：2x﹣8y﹣9=0．【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，点差法处理中点弦问题，属于基础题．16.直线l与椭圆相交于两点A，B，弦AB的中点为（-1，1），则直线l的方程为

.参考答案：3x-4y+7=017.二项式展开式中的常数项为______．参考答案：60【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】解：的展开式的通项公式为，令，求得，所以展开式中常数项为．故答案：60．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由参考答案：解：(1)设P(x,y)，则化简得x2－=1(y≠0)………………4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

＝k2(＋4)

＝因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝(x＋1)因此M点的坐标为(),同理可得因此

＝

＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，同理可得因此＝0综上＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F

略19.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P、Q分别是棱DD1、CC1的中点．（1）画出面D1BQ与面ABCD的交线，简述画法及确定交线的依据．（2）求证：平面D1BQ∥平面PAO．参考答案：【考点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）延长D1Q与DC，交于点M，连接BM．得BM即为面D1BQ与面ABCD的交线．由已知能推导出M在面D1BQ与面ABCD的交线上，B也在面D1BQ与面ABCD的交线上，从而得到BM即为面D1BQ与面ABCD的交线．（2）连接PQ、BD，四边形PABQ为平行四边形，从而AP∥BQ，进而BQ∥面AOP，同理可证D1B∥面AOP，由此能证明面BQD1∥面AOP．【解答】（1）解：作法：延长D1Q与DC，交于点M，连接BM．得BM即为面D1BQ与面ABCD的交线…理由如下：由作法可知，M∈直线D1Q，又∵直线D1Q?面D1BQ，∴M∈面D1BQ，同理可证M∈面ABCD，则M在面D1BQ与面ABCD的交线上，又∵B∈面D1BQ，且B∈面ABCD，则B也在面D1BQ与面ABCD的交线上，…且面D1BQ与面ABCD有且只有一条交线，则BM即为面D1BQ与面ABCD的交线．…（2）证明：连接PQ、BD，由已知得四边形PABQ为平行四边形∴AP∥BQ，∵AP?面AOP，BQ?面AOP，∴BQ∥面AOP，…同理可证D1B∥面AOP，又∵BQ∩D1B=B，BQ?面BQD1，BD1?面BQD1，∴面BQD1∥面AOP．…【点评】本题考查两平面交线的作法及证明，考查两平面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.（10分）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．参考答案：解法一：若

，

，显然在上没有零点，所以

令

得

当时，

恰有一个零点在上；

当

即

时，也恰有一个零点在上；验证知：也满足；…………5分当

在上有两个零点时，则

或解得

因此的取值范围是

…………10分

解法二：函数在区间上有零点，即方程在区间上有解，该方程等价于设

令

故

因此的取值范围是

…………10分21.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.

（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.参考答案：略22.本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视