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—、基础阶段任务（）熟记基本概念、定理、公（）掌握基本方法与技（）培养基本计算能力：求极限、求导数、求积分二、目标：（）建成基础知识结（）形成基础数学素养三、内容安排：（１）极

高数高数烎１第一 极核心考点（１）定（２）性（３）计（４）应—、极限定１函数极犳（狓）→犳（狓）→犳（狓）→＋狓→狓ε＞０δ＞０使当０狘狓－狓＜δ时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞δ＞０使当０狘狓－狓＜δ时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞δ＞０使当０狘狓－狓＜δ时即有犳（狓）＞犕犕＞δ＞０使当０狘狓－狓＜δ时即有犳（狓）＜－犕狓→狓０ε＞０δ＞０使当０＜狓－狓０＜δ时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞δ＞００＜狓－狓０＜δ时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞δ＞００＜狓－狓０＜δ时即有犳（狓）＞犕犕＞δ＞００＜狓－狓０＜δ时即有犳（狓）＜－犕狓→狓ε＞０δ＞００＜狓－狓＜δ时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞δ＞００＜狓－狓＜δ时，即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞δ＞００＜狓－狓＜δ时，即有犳（狓）＞犕．犕＞δ＞００＜狓－狓＜δ时，即有犳（狓）＜－犕２续犳狓）→＋犳（狓）→－狓→ε＞０犡＞狘狓狘＞犡时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞犡＞狘狓狘＞犡时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞犡＞狘狓狘＞犡时即有犳（狓）＞犕犕＞犡＞狘狓狘＞犡时即有犳（狓）＜－犕狓→＋ε＞０犡＞狓＞犡时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞犡＞狓＞犡时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞犡＞狓＞犡时即有犳（狓）＞犕犕＞犡＞狓＞犡时即有犳（狓）＜－犕狓→－ε＞０犡＞狓＜－犡时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞犡＞狓＜－犡时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞犡＞狓＜－犡时即有犳（狓）＞犕犕＞犡＞狓＜－犡时即有犳（狓）＜－犕【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１６第１０题证明：若狓→＋∞及狓→∞时，函数犳狓）极限都存在且都等于犃，则ｌｉｍ犳狓）＝犃狓→３【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１７第１１题根据函数极限的定义证明：函数犳狓）当狓→狓０时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等．４【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１７第１２题试给出狓→∞时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明【定理】若ｌｉｍ犳狓）存在，则存在犡＞０及犕＞０，使 狘狓狘狓→犡均有狘犳狓）狘≤犕５２数列极狀为自然数狀→∞专指狀→＋∞，而略去“＋”不ｌｉｍ狓狀＝ ε＞０ 犖＞０，当狀＞犖时，有狘狓 犃狘＜狀→【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４第６题若ｌｉｍ狌狀＝犪，证明ｌｉｍ狘狌狀狘＝狘犪狘．并举例说明：如果数列狘狓狀狀→∞ 狀→∞狘｝有极限，但数列狓狀｝未必有极限６【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４第８题对于数列狓狀｝，若狓２犽１→犪犽→∞），狓２犽→犪犽→∞），证明：狓狀→犪狀→∞）．７二、极限三大性１唯一若ｌｉｍ犳狓）＝犃，则犃唯一狓→狓８【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１５第４题求犳狓）＝狓

狓

当狓→０时的左、右极限，并说明们在狓→０时的极限是否存在９【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ４４例（１当狓→１１当狓→１时，函 ｅ狓１的极限为 （Ａ （Ｂ（Ｃ （Ｄ）不存在但不 ２局部有界若ｌｉｍ犳狓）＝犃， 犕＞０，δ＞０，当０＜狘 狓０狘＜δ时狓→狓恒有狘犳狓）狘＜犕【例犳狓）

狘狓狘ｓｉｎ狓 ２）狓 ２

在 ）内有界Ａ．（１，０ Ｂ．（０，１Ｃ．（１，２ Ｄ．（２，３３局部保号若ｌｉｍ犳狓）狓→狓若ｌｉｍ犳狓）狓→狓

>０，则狓*狓０时犳狓） ＜０，则狓*狓０时犳狓）＜【例９】设ｌｉｍ犳狓）＝犳（０）且 犳狓 ２，则狓＝０狓→ 狓→０ ｃｏｓ Ａ．极大值 Ｂ．极小值Ｃ．非极值 Ｄ．无法判三、极限的计１函数极限计①七种未定式烄０

，∞· ∞，∞０，，１∞烆０ 【注０不是真的，１不是真的②计算工（）洛必达法ａ）若ｌｉｍ犳狓）＝０，ｌｉｍ犵狓）＝狓→

犳′狓

狓→

犳狓ｂ）且ｌｉｍ ，则ｌｉｍ 狓→犵′狓 狓→犵狓 狓→犵′狓隐含条件犳狓），犵狓）都为无穷小量可导函数比值的极限存在．【注１】如ｌｉｍｓｉｎ

ｃｏｓ＝狓→

狓→

＝洛必达法则能不能用，用了再说，用了若存在，则存在；用了若不存在，只能说洛必达法则失效，并不能说原极限一定不存在，如：【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９７第２题验证极限狓→

存在，但不能用洛必达法则得出【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９７第３题狓２ｓｉｎ验证极限狓→

ｓｉｎ

存在，但不能用洛必达法则得出【注】常用等价无穷小当狓→０时，ｓｉｎ狓～狓ａｔａｎ狓～狓ａｒｃｔａｎ狓～狓ｅ狓 １～狓ｌｎ（１＋狓）～（１＋狓）α １ｃｏｓ狓～１狓２２第一组烄０烆０

，∞·烎【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第（）题

ｌｎ１烆

狓烎烄狓→＋∞ａｒｃｃｏｔ狓烆０烎【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第（）题ｌｉｍｌｎｔａｎ７狓烄∞烌狓→０＋ｌｎｔａｎ２狓烆∞【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第（）题ｌｉｍ狓２ｅ１／狓２（０·∞狓→第二组 ∞①有分母，则通【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１２３第（）题ｌｉｍ 狓→燀ｌｎ１＋狓

１燄（∞ 狓燅②没有分母，创造分１【例】狓→＋

狓２（ｅ １）狓第三组（∞０，０，∞）【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第（）题狓→

烄１烌ｔａｎ（烆狓 （

０【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第（）题ｌｉｍ狓ｓｉｎ狓（＋狓→【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１２３第（）题 狓→（１∞

［（犪１狓＋犪２狓＋…＋犪狀狓）／狀］狀 （其中犪１犪２，…犪狀＞０（）泰勒公任何可导函数犳狓） ∑犪狀狓当狓→０时①ｓｉｎ狓＝ １狓３＋狅狓３６②ａｒｃｓｉｎ狓＝狓＋狓３＋狅狓３６③ｔａｎ狓＝狓＋狓３＋狅狓３④ａｒｃｔａｎ狓＝ １狓３＋狅狓３３⑤ｃｏｓ狓＝ １狓２＋１狓４＋狅狓４ 狓 狓 狓 （４ ２＋ ４＋狅 狓 狓 （３⑦ｅ＝１＋狓＋！＋！＋狅 ＝１＋狓＋狓２＋狓３＋狅狓３）（狘狓狘＜１１⑨（１＋狓

＝１＋α狓

α（α１ 狓２＋狅狓２【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９９第６题求函数犳狓）＝ｔａｎ狓的带有佩亚诺型余项的３阶麦克劳林式【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９８第３题朗的３阶泰勒公式．朗

日型余槡【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１００第（）（）题槡（１）槡狓→＋槡

（狓３＋３狓

４狓

２狓３

１＋狓 ·２ ·２ ２数列极限运（）若狓狀易于连续化，转化为函数极限计算依据：若ｌｉｍ犳狓）＝犃，则ｌｉｍ犳狀）＝犃狓→＋ 狀→槡【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ４１第（）题槡求极限狀→

狀（狀犪 （２）若狓狀｝不易于连续化，用“夹准则”（或定积分定义【例】［张宇带你学高等数学·上册犘４４第（）题 求极限ｌｉｍ ＋… 烌 狀→∞烆 ＋狀＋ ＋狀＋ ＋狀＋狀【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ４１第（）题 求ｌｉｍ ＋… 烌 狀→∞烆 ＋狀＋ ＋狀＋ ＋狀＋狀（３）若狓狀｝由递推式狓狀＝犳狓狀１）给出，用“单调有界准则”：给出狓狀｝，若 狓狀｝单增且有上界或者单减且有下界ｌｉｍ狓 狓狀｝收狀→【例】［张宇带你学高等数学·上册犘４１第（）题设狓１＝狓狀＋１＝存在，并求此极限．

槡６＋狓狀狀＝１，２，…），试证数列狓狀｝极四、极限的应 —— 连续与间１基本常任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：分段函数的分段点（可能间断）无定义点（必然间断）２连续的定若ｌｉｍ犳狓）＝犳狓０），则犳狓）称在狓＝狓０处连续狓→狓【注】ｌｉｍ犳狓）＝ｌｉｍ犳狓）＝犳狓０）三者相等才连续０狓→狓０３间断的定

狓→狓设犳狓）在狓＝狓０点的某去心邻域有定 （３犳狓０＋狓→狓 狓→狓ａ）第一类间断点（），（）均存在（）≠（）：狓０为跳跃间断（） （）≠（）：狓０为可去间断ｂ）第二类间断点（），（）至少一个不存在（目前为止考研只考了（）（）均不存在）若不存在＝ 无穷间断若不存在＝振 振荡间断【注】①单侧定义不讨论间断②若出现左右一边是振荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９７第４题讨论函 烄熿（１＋狓）狓燄 犳

）＝烅

狓＞燅烆在点狓＝０处的连续性

２ 狓≤【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ２７第３题下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类．如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：狓

狓 ３狓＋２狓＝１狓＝２ 狓＝犽π狓＝犽π＋ 犽＝０，±１，±２，…ｔａｎ（３狔＝狓

狓＝（ 烄 １，狓≤１４狔＝烆３

，狓＞

，狓＝第二 一元函数微分核心考

中值定烅几何应—、定ｌｉｍ犳狓０＋Δ狓 犳狓０）记

犳′狓０Δ狓→ Δ【注】（１）左右有ｌｉｍ犳狓０＋Δ狓 犳狓０）

犳′

狓０）右导＋Δ狓→Δ狓→

Δ犳狓０＋Δ狓 犳狓０）＝犳Δ

狓）导因此犳′狓０）存 犳 狓０）＝犳′＋狓０犳′狓０ ｌｉｍ犳狓０＋狗 犳狓０狗→ （）一静一动原则，不可违反此原则Δ狓→

犳狓０＋Δ狓 犳狓 Δ狓）Δ

犳′狓）是典型错误０＋ （４）换元法，令 ｌｉｍ犳狓 犳０＋

′狓０狓→狓

狓【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ５３第２题当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度犜与时间狋的函数关系为犜＝犜狋），应怎样确定该物体在时刻狋的冷却速度？【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ５３第３题］设某工厂生产狓件产品的成本为犆狓）＝２０００＋１００ ０．１狓２（元函数犆狓）为成本函数，成本函数犆狓）导数犆′狓）经济学中称为边际成本．试求（）当生产１００件产品时的边际成本（）生产第１０１件产品的成本，并与（）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ５４第８题设犳狓）可导犉狓）＝犳狓）（１＋狘ｓｉｎ狓狘），则犳（０）＝０是犉狓）在狓＝０处可导的（ （Ａ）充分必要条 （Ｂ）充分条件但非必要条（）必要条件但非充分条件（Ｄ）既非充分条件又非必要条【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ５６第１７题］设函数烄狓２ 狓≤１犳狓）＝烆犪狓＋犫 狓＞１为了使函数犳狓）在狓＝１处连续且可导犪犫应取什么值【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ５７第２０题证明：双曲线狓狔＝犪２上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于２犪２．二、计１基本求导公狓α′＝α狓α

（ａｒｃｓｉｎ狓′ 犪狓犪

＝犪狓（ｅ狓′＝ｅ′狓

（ａｒｃｃｏｓ狓′ １（ａｒｃｔａｎ狓′＝１＋狓（ａｒｃｃｏｔ狓′ １＋狓＝＝ｃｏｓｓｉｎ ｔａｎ狓＝２ｓｅｃ（ｃｏｔ狓＝ｃｓｃ２（ｓｅｃ狓＝ｓｅｃ狓ｔａｎ（ｃｓｃ狓＝ｃｓｃ狓ｃｏｔ

槡狓２槡狓

）′ ）′ ２基本求导方（）复合函数求【例】［张宇带你学高等数学·上册６０第（）（）（）８（７）（９）（１０）题求下列函数的导（狔＝ｌｎ狓＋槡犪２＋狓２（２狔＝ｌｎ（ｓｅｃ狓＋ｔａｎ狓 ｃｏｔ狓（４狔＝ａｒｃｓｉｎ狓ａｒｃｃｏｓ 槡１＋ 槡１狓槡１＋狓＋槡 （６狔＝ａｒｃｓｉｎ 狓槡１＋（）隐函数求显函数狔＝犳狓），隐函数犉狓狔）＝方法：在犉狓狔）＝０两边同时对狓求导，只需注意狔＝狔狓）即可（复合求导）．【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６８第２题 ２ ＋求曲线狓 ３＝犪３在 ＋烆 程

犪处的切线方程和法线烎【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６８第（）题］求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数ｄ２狔：ｄ狓狔＝ｔａｎ狓＋狔（）对数求导方法：对多项相乘、相除、开方、乘方得来的式子取对数再求导，称为对数求导数．【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６９第（）题］用对数求导法求下列函数的导数：槡狓＋２（３狓）４狔＝ 狓＋１）５ 【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６９第（）题］用对数求导法求下列函数的导数：狔＝槡狓ｓｉｎ 槡１ｅ狓（）反函数求【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６５第４题试从ｄ

＝１导出（

狓ｄ

３狔″ 狔′１ｄ狔２ ２ｄ狔３ （）参数方程求烄狓＝狓狋

为参 烆狔＝狔狋）【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ７１第（）题］求下列参数方程所确定的函数的三阶导数ｄ３狔：ｄ狓烄狓＝ｌｎ（１＋狋２烅烆狔＝ ａｒｃｔａｎ狋（）高阶导①高阶求烄狌±狏）（狀）＝狌（狀）±狏（狀狀

>犽狌（狀犽狏（犽）＝狌（狀狏＋狀狌（狀狀 犽＝狀狀 １

…＋狌狏（狀②常用以下公式（找规律，用数学归纳法证得的 ）（狀

π

＝犽烆狀

犽狓＋２狀（ｃｏｓ

）（狀）＝狀

πｃｏｓ犽狓 ·π １）！狓＞狀狓［ｌｎ狓＋１）］（狀） （１）狀１· １）！狓 烄１（狀烆狓＋犪

＝（）狀

狀狓＋犪）狀【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６６第１０题］求下列函数所指定的阶的导数：（１狔＝ｅ狓ｃｏｓ狓，求狔（４）（２狔＝狓２ｓｉｎ２狓，求狔（５０）三、中值定１定理总（）涉及犳狓）的定设犳狓）在犪犫］连续①（有界性定理 ＞０，使狘犳狓）狘≤犓 狓∈犪犫②（最值定理）犿≤犳狓）≤犕，其中犿，犕分别为犳狓）犪犫上的最小、最大值③（介值定理）当犿≤μ≤犕时， ξ∈犪犫］，使犳ξ）＝μ④（零点定理）当在犳犪）犳犫）＜０时，则 犳ξ）＝０．（① ④只需使用，不需证明（２）涉及犳′狓）的定⑤费马定设犳狓）在狓＝狓０【作业：证明之⑥罗尔定

烄１）可烆烅）取极 犳′狓０）＝０烆烄犪犫］连设犳狓）满足以下三条烅２犪犫）内可导， ξ∈犪犫），使′ξ）＝０烆犳犪）＝犳犫【作业：证明之⑦拉格朗日中值定烄）［犪犫］上连续设犳狓）满足烅烆）（犪犫）内可

， ξ∈犪犫），′（

犳犫 犳犪 ξ 【注】若犳犪）＝犳犫），则犳′ξ）＝，即为罗尔定理⑧柯西中值定设犳狓），犵狓）满

烅２）（犪犫）内可导烆３犵′狓）≠犳′ξ）犵′ξ

犳犫 犳犪犵犫 犵犪【注ａ．若取犵狓）＝ 犳犫 犳犪）＝犳′ξ 拉格朗日 值定理ｂ．柯西中值定理 拉格朗日中值定理 罗尔定理，拉格朗日中值定理不可倒推柯西中值定理．⑨泰勒定理（泰勒公式任何可导函数犳狓）＝∑犪狀狓狀．１）带拉格朗日余项的泰勒式：犳狓狀＋１阶可导犳狓）＝犳狓

）（ 狓

）＋犳″狓０）（ ０２０

）２＋狀＋犳（）狀

０ 狓）狀＋

（狀＋１）

狓）狀＋１狀 狀＋１ 犳（狀）（０

犳（狀＋１ 狀其中 狓

为通项

ξ 狓）

为拉式狀 项ξ介于狓和狓０之间如犳狓）三阶可犳狓）＝犳狓０）＋犳′狓

）（ 狓

狀＋１ ０）＋犳″狓０）（ ０２ （ （ 狓０）３（泰勒公式３其中ξ介于狓和狓０之间当狓０＝０时，泰勒公式又成为麦克劳林公式狓

犳（０

′（０

ξ

３ 麦克劳林 ＋式

２！

３！其中ξ介于狓和０之间）带佩亚诺余项的泰勒公若犳狓狀阶可导犳狓）＝犳狓

）（ 狓

）＋犳″狓０）（ ０２０

）２＋犳（狀）狓０

狀若犳狓）３阶可导

狓

＋ 狓０）犳狓） 犳

）＋犳′

）＋犳″狓０）

）２０ 狓０

２３３ 狓０

＋狅（（ 狓０）当狓０＝０时，泰勒公式又成为麦克劳林公式狓

（０

′（０

（０）

狅狓 ＝ ＋【注

２！

３！ 烄拉 用于证烅烆佩 用于计．五大方面的应（１）涉及犳狓）的应用 ④【例】设犳狓）在犪犫］上连续，证 ξ∈犪犫］，犫∫犳狓）ｄ狓＝犳ξ）（ 犪∫犪［积分中值定理（２）罗尔定理的应用（⑥）犳犪）＝犳犫 犳′ξ）＝方法一：求导公式逆用【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１２３第７题设犳狓）［犪］连续，在（犪）可导，且犳犪）＝，证明存在一点ξ∈（犪），使犳ξ）＋ξ犳′ξ）＝．【例２犳狓） 犳（１） １犽犽狓ｅ犳狓）ｄ狓犽＞∫证明 ξ∈（０，１），使犳′

烄） 烆

１犳ξ烌ξ烌方法二：积分还原①将欲证结论中的ξ改成②积分（令犮＝③移项，使等式一端为，则另一端记为犉狓【例１】证明拉格朗日中值定理犳′（）＝犳犫 犳犪）（２００９ 【例２】证明柯西中值定理犳′ξ）＝犳犫 犳犪犵′ξ 犵犫 犵犪（）拉格朗日中值定理的应用（⑦犳′ξ）＝犳犫 犳犪），ξ∈犪犫 或 犳犫 ξ ）将犳复杂化【例】设犳狓）在犪犫］上连续，（犪犫）内可导，证明：ξ∈犪犫），使犫犳犫 犪犳犪） 犳ξ）＋ξ犳′ξ）］（ 犪２）给出相对高阶的条 证明低阶不等【例】设犳″狓）＜０犳（０）＝０，证明： 狓１≠狓２＞０，有犳狓１＋狓２）＜犳狓１）＋犳狓２）３）给出相对低阶的条 证明高阶不等【例】设犳狓）二阶可导，且犳（２）＞犳（１），犳（２） ３犳狓）ｄ狓，∫明：ξ∈（，），使犳″ξ）＜４）具体化犳，由犪＜ξ＜ 不等【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９３第９题］设犪＞犫＞狀＞，证明：狀犫狀１ 犫）＜犪 犫狀＜狀犪狀１ 犫【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９３第１０题］设犪＞犫＞，证明：

＜犪 ξ的具体表达【例】设犳狓）＝ａｒｃｓｉｎ狓ξ为犳狓）在［０狋］上拉格朗日中值狋０理的中值点，０＜狋＜，求极限狋０＋（）柯西中值定理的应用（⑧犳′ξ）＝犵′ξ）

犳犫） 犳犫 犵犪

抽 具【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１２３第８题设０＜犪＜犫，函数犳狓）犪犫］连续，在犪犫）可导，试利用柯西中值定理，证明存在一点ξ∈犪犫），使犪犳犫 犳犪）＝ξ犳′ξ）ｌｎ犫犪（５）泰勒公式的应 信号犳（狀）ξ），狀≥２［注犳犪）＝犳犫 犳′ξ１）＝０ （①犳犮）＝

犱

犳′ξ２）

犳″ξ３＝０烎０②泰勒展开成犳′犳″【例】设犳狓）在［０，１］上二阶可导， １犳狓）ｄ狓＝０，∫（Ａ）当犳′狓（Ａ）当犳′狓）０时（Ｂ）当犳″狓）０时（Ｃ）当犳′狓）０时（Ｄ）当犳″狓）０时烆２犳烄１烌＜烆２犳烄烌＜烆２犳烄烌＜烆２三、导数的几何应三点两性一线：极值点、最值点、拐点；单调性、凹凸性；渐近１极值与单调（）极值定※必须是双侧定义，否则不考虑极）广义极狓０的某个领域 狓∈犝狓０，δ）都有犳狓）≤犳狓０），称狓为犳狓）的广义极大值点）真正极狓０的某个去心领域， 狓∈°狓０，δ）都有犳狓）＜犳狓０），称狓０为犳狓）的真正极大值点．【注】若无特殊说明，按广义极值办事，最值同理（）单调性与极值判１）若犳′狓）＞０， 狓∈犐，则犳狓）在犐上单调递增；若犳′狓）＜０ 狓∈犐，则犳狓）在犐上单调递减）若犳狓）在狓＝狓０处连续，在°狓０，δ）内可导烄当狓０∈狓 δ狓０）时犳′狓）＜０当狓０∈狓０狓０＋δ）时犳′狓）＞０ 极烅当狓０∈狓 δ狓０）时犳′狓）＞０当狓０∈狓０狓０＋δ）时犳′狓）＜０ 极烆若犳′狓）在狓 δ狓０）与狓０狓０＋δ）内不变 不是极３）若犳狓）在狓＝狓０处二阶可导犳′狓０）＝０犳″狓０）＞０ 小值若犳狓）在狓＝狓０处二阶可导犳′狓０）＝０犳″狓０）＜０ 大值 【注】犳狓）＝犳狓）＋犳′狓）（ 狓）＋犳″狓０）（ ２ 狓０）２犳狓 犳

）＝犳″狓０）

）２ ２犳狓）＞犳狓０【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１０１第（）（）题］确定下列函数的单调区间：（狔＝２狓＋狓（狔＝ｌｎ狓

狓＞槡１＋狓２【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１１０第３题试问犪为何值时，函数犳狓）＝犪ｓｉｎ狓＋ｓｉｎ３狓在狓＝π 取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值２凹凸性与拐（）凹凸狓１狓２∈犐，有犳狓１）＋犳狓２）＞犳烄狓１＋狓２ 犳狓）是凹曲 犳狓１）＋犳狓２）＜犳烄狓１＋狓２ 犳狓）是凸曲 连续曲线凹凸弧的分界（）判别法：设犳狓）在犐上二阶可导烄若犳″狓０）＞０ 狓∈ 犳狓）是凹）１若″狓０）

０ ∈

犳狓）是凸２）若犳狓）在狓０点的左右邻域犳″狓）变 狓０犳狓０））为点【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１０５第（）题］求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：狔＝ｅａｒｃｔａｎ狓【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１３９例设狔＝犳狓）有三阶连续导数，且犳′狓０）＝犳″狓０）＝０ 狓０≠．问狓０是否是极值点？狓０犳狓０））是否是拐点？证明你的结论３渐近（）铅直渐近 ００狓→狓＋（或００

犳狓）＝∞，则称狓＝狓０为犳狓）一条铅直渐近线）出现在：无定义点或者开区间端（）水平渐近 犳狓）＝犃，则称狔＝ 为犳狓）的一条水平渐狓→＋∞（ ∞线（）斜渐近 犳狓）狓→＋∞（∞ 狔＝犪狓＋犫为一条斜

犪≠０， ｌｉｍ犳狓 狓→＋∞（∞近线

，则【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１３８例（２１曲线狔＝ ＋３＋ｅ狓的渐近线的条数为 １２ （Ａ （Ｂ （Ｃ （Ｄ４最（）对于函数犳狓），在犪犫］上找出三类烄犳′狓）＝０狓０驻烅犳′狓） 狓１不可导端点犪比较犳狓０），犳狓１），犳犪），犳犫）大小，取其最大（小）者为最（小）值（２）若在犐上求出唯一极大（小）值点，则由实际背景 为最大（小）值．若犪犫）内，端点考虑取极值即可【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１１１第（）题］求下列函数的最大值、最小值：狔＝狓＋槡 狓 ５≤狓≤１【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１１４第１７题—房地产公司有５０套公寓要出租．当月租金为４０００元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加２００元时，就会多一套公寓租不出去．而租出去的公寓每月需花费４００元的维修费．试问房租定为多少时可获得最大收入？第三 一元函数积分核心考１．定２．计算（重点难点３．应—、定１不定积个原函数．全体原函数就叫不定积分，记成：犳狓）ｄ狓＝犉狓）＋犆２定积犫∫犳狓）ｄ狓∫犪【小结犳狓）ｄ狓为函数族，犫犳狓）ｄ狓为面积代表 牛 莱布尼茨公式／ 犔公式：犫犳狓）ｄ狓＝犉狓

狓＝犫狓＝犉犫 犉犪二、计算（四大方法１凑微分（）基本积分公

１ｄ狓 １＋２∫狓犽ｄ狓２

犽＋

狓犽１＋犆犽≠

１ｄ狓＝２槡狓＋∫ｄ狓＝ｌｎ狘狓狘＋犆∫∫犪狓ｄ狓＝ １犪狓＋犆犪＞０犪≠１ｌｎ犪∫ｅ狓ｄ狓＝ｅ狓＋∫ｓｉｎ狓ｄ狓 ｃｏｓ狓＋∫ｃｏｓ狓ｄ狓＝ｓｉｎ狓＋∫ｔａｎ狓ｄ狓 ｌｎ狘ｃｏｓ狓狘＋∫ｃｏｔ狓ｄ狓＝ｌｎ狘ｓｉｎ狓狘＋∫ｓｅｃ狓ｄ狓＝ｌｎ狘ｓｅｃ狓＋ｔａｎ狓狘＋∫ｃｓｃ狓ｄ狓＝ｌｎ狘ｃｓｃ ｃｏｔ狓狘＋∫ｓｅｃ２狓ｄ狓＝ｔａｎ狓＋∫ｃｓｃ２狓ｄ狓 ｃｏｔ狓＋∫ｓｅｃ狓ｔａｎ狓ｄ狓＝ｓｅｃ狓＋∫ｃｓｃ狓ｃｏｔ狓ｄ ｃｓｃ狓＋∫ ｄ狓＝ａｒｃｓｉｎ狓＋∫槡 狓∫ ｄ狓＝ａｒｃｓｉｎ狓＋槡犪 狓 １∫槡犪２＋狓１

ｄ狓＝ｌｎ狓＋槡犪２＋狓２）＋１∫槡狓１

犪

槡狓 犪２狘＋１１＋狓１１

ｄ狓＝ａｒｃｔａｎ狓＋ｄ狓＝ａｒｃｔａｎ狓＋∫犪∫犪

＋狓１狓

ｄ狓 １ｌｎ狘犪＋狓狘＋２ ２２∫ ｄ狓 １ｌｎ狘 犪狘＋２２ ２ 狓＋ 犪

∫槡 ＋【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４７第（）题ｔａｎ槡１＋狓２ 狓ｄ 槡１槡１＋狓【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４７第（）题ａｒｃｔａｎ槡狓ｄ狓∫狓（１＋狓【 ｃｏｓ２ ｓｉｎ３ｃｏｓ狓（１＋ｃｏｓ狓ｅｓｉｎ狓）ｄ狓２换元当凑微分法不成功时，考虑换元，从而使题目从复杂变简 当被积函数犳狓）含槡犪狓槡狓 犪２可作如下槡犪狓

槡犪 狓２，槡犪２＋狓２２槡犪２＋２

令狓

犪ｓｉｎ狋烆烄犪ｔａｎ狋烆烄

π狋＜π ２π狋＜π ２ 槡狓 犪 令狓＝犪ｓｅｃ狋，

狓＞

０≤狋≤狓＜，π＜狋＜ 【注】若见到槡犪狓２＋犫狓＋犮，要先化槡φ２狓 犽２，槡犽 φ２狓），槡φ２狓）＋犽２，再作三角换元１ １（）倒代换狓

可用于分子次数明显低于分母次数时特别地１．∫狓２．∫狓∫∫狓

狋 ｄ犪 狓 ｄ犪２＋狓 ｄ槡狓 犪犽＝，（３）复杂部分代 令复杂部分＝狀犪狓＋犫＝狋，犪狓＋ ＝狋，槡犪ｅ犫狓＋犮＝狋，（根式代换槡犪狓，ｅ狓＝狋（指数代换ｌｎ狓＝狋（对数代换ａｒｃｓｉｎ狓，ａｒｃｔａｎ狓＝狋（反三角函数代换）等【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４８第（）题∫ｄ ∫槡狓２＋１【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４８第（）题∫ｄ ∫１＋槡２３分部积分狌·狏′＝狌′·狏＋狌·狏 ｄ狌狏）＝狏ｄ狌＋狌ｄ∫ｄ狌狏）＝∫狏ｄ狌＋∫狌ｄ 狌狏＝∫狏ｄ狌＋∫狌ｄ∫狌ｄ狏＝狌 ∫狏ｄ此方法一般是在运算过程烄１．出现了不同类型函数的乘烅狀烆２．且∫狌ｄ狏困难，而∫狏ｄ狌简单狀（）被积函数为犘狀狓）＝狌

狓）·ｅ犽狓

狀狓）ｓｉｎ犪狓

狀狓）ｃｏｓ犪狓，（２）被积函数为ｅ犪狓ｓｉｎ犫狓，ｅ犪狓ｃｏｓ犫狓，选谁当狌都行（３）被积函数为犘狀狓）ｌｎ狓犘狀狓）ａｒｃｓｉｎ狓犘狀狓