代入法解二元一次方程组练习题

代入法解二元一次方程组练习题

1.解方程组：(1)$\begin{cases}x=y-50\\x+3y=7\end{cases}$将第一个方程代入第二个方程得：$(y-50)+3y=7$，解得$y=19$，代入第一个方程得$x=-31$，因此解为$(x,y)=(-31,19)$。(2)$\begin{cases}x+y=180\\y-x=1\end{cases}$将第二个方程变形得$y=x+1$，代入第一个方程得$2x+1=180$，解得$x=89.5$，代入$y=x+1$得$y=90.5$，因此解为$(x,y)=(89.5,90.5)$。(3)$\begin{cases}7x-2y=2\\2x+y=3\\3x-5y=11\end{cases}$将第二个方程乘以2得$4x+2y=6$，与第一个方程相加消去$y$得$11x=8$，解得$x=\frac{8}{11}$，代入第二个方程得$y=\frac{1}{11}$，代入第一个方程检验，因此解为$(x,y)=\left(\frac{8}{11},\frac{1}{11}\right)$。(4)$\begin{cases}mn+5x-2y=3\\x+6y=11\end{cases}$将第二个方程变形得$x=11-6y$，代入第一个方程得$mn+5(11-6y)-2y=3$，整理得$mn-32y=-52$，因为$m,n$都是正整数，所以$mn\geqslant1$，因此$y\leqslant-\frac{13}{16}$，但是这与$y$是整数矛盾，因此无解。2.已知是方程组的解，求$a$和$b$的值。$\begin{cases}am+bn=2\\am-bn=3\end{cases}$将第二个方程两边乘以$-1$得$am+bn=2$，与第一个方程联立解得$a=2,b=0$。3.若方程组的解$x$与$y$相等，求$k$的值。$\begin{cases}(k-1)x+(k+1)y=4\\x=y\end{cases}$将第二个方程代入第一个方程得$(2k-1)x=4$，因为$x=y$，所以$2x=180$，解得$x=90$，因此$2k-1=\frac{4}{90}$，解得$k=\frac{47}{45}$。4.已知方程组与的解相同，求$a+b$。$\begin{cases}2x+3y=4\\4x-3y=2\end{cases}$将两个方程相加消去$y$得$6x=6$，解得$x=1$，代入第一个方程得$y=\frac{2}{3}$，因此解为$(x,y)=(1,\frac{2}{3})$，$a+b=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。5.如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？由图可知，长方形地砖的长为$5$块，宽为$3$块，因此每块地砖的长为$5$cm，宽为$3$cm。6.运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？设每节火车车厢装$x$吨，每辆汽车装$y$吨，则有以下方程组：$\begin{cases}8x+20y=480\\10x+6y=524\end{cases}$将第一个方程两边同时除以4得$2x+5y=120$，将第二个方程两边同时除以2得$5x+3y=262$，联立解得$x=22,y=16$，因此每节火车车厢装22吨，每辆汽车装16吨。7.〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的$\frac{1}{3}$，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？设树上有$x$只鸽子，地上有$y$只鸽子，则有以下方程组：$\begin{cases}x+y=z\\3(x-1)=2(y+1)\\x-1=y+1\end{cases}$其中第一个方程表示整个鸽群的数量，第二个方程表示从地上飞上来一只鸽子后树下的鸽子数为整个鸽群数量的$\frac{1}{3}$，第三个方程表示从树上飞下去一只鸽子后树上、树下的鸽子数相等。将第三个方程变形得$x=y+2$，代入第二个方程得$3(y+1)=2(y+3)$，解得$y=3$，代入第一个方程得$x=5$，因此树上有5只鸽子，地上有3只鸽子。8.在解方程组时，哥哥正确地解得，弟弟因把$c$写错而解得$cx-7y=8,y=-2$，求$a+b+c$的值。哥哥正确地解得$\begin{cases}ax+by=2\\ax-by=3\end{cases}$，将两个方程相加消去$b$得$2ax=5$，因此$a=\frac{5}{2}$。弟弟的方程组可