考点29空间几何体表面积与体积备战2020年高考数学理一轮复习导练案纸间书屋

考点 空间几何体的表面积与体了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算l）l） 底 底 πr2, SSSπlrrS2πrrlSπrrlSπrrrlrl 棱锥、棱台、棱柱的侧面积间的联系： Sh(S为底面面积，h为高 πr2h(r为底面半径，h为高 1Sh(S为底面面积，h为高)， 1πr2h(r为底面半径，h为高 1 SSS)h(S′、S分别为上、下底面面积，h为高 1πhr2rrr2(r′、r分别为上、下底面半径，h为高 设球的半径为R它的体积与表面积都由半径R唯一确定是以R为自变量的函数其表面积为4πR2即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体 为4πR33若正方体的棱长为a 方体的内切球半径是1a；正方体的外接球半径是3a；与正方体 有棱相切的球的半径是2a2若长方体的长、宽、高分别为abh

1a1a2b2若正四面体的棱长为a 四面体的内切球半径是6a；正四面体的外接球半径是6a； 正四面体所有棱相切的球的半径是2a4几何体的表面积，求其表面积． B．C．6π D．5π【答案】其表面积为2π12π12π11215π2，D．【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体的部分 22

33

232323 D．10 232323【答案】22 22故三棱锥BACC的表面积为122 12221232122622221

起到连接作用，代表建筑有：的、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视 .求若所给定的几何体是可直接用求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用进行求解若所给定的几何体的体积不能直接利用得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解体体积的法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.典例3 B．3C．3

3【答案】BCEAGFABCD所得的几何体，如图所以其体积为V 4441114

𝐷𝐸𝐴𝐵𝐶𝐷𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵//𝐶𝐷𝐴𝐷（1）求证：𝐵𝐶⊥（2）求几何体𝐸𝐹−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积（1）因为△ACB是腰长为2√2的等腰直角三角形，所以𝐴𝐶⊥𝐵𝐶.因为𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐷𝐸⊥又𝐷𝐸//𝐶𝐹，所以𝐶𝐹⊥又𝐴𝐶∩𝐶𝐹=𝐶，所以𝐵𝐶⊥平面所以𝐵𝐶⊥（2）因为△ABC是腰长为2√2的等腰直角三角形，所以𝐴𝐶=𝐵𝐶=2√2,𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=4，所以𝐴𝐷=𝐵𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶=2√2sin45°=2,𝐶𝐷=𝐴𝐵−𝐵𝐶cos∠𝐴𝐵𝐶=4−2√2cos45°=所以𝐷𝐸=𝐸𝐹=𝐶𝐹=由勾股定理得𝐴𝐸=√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=2√2，因为𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐷𝐸⊥又𝐴𝐷⊥𝐷𝐶𝐷𝐸𝐷𝐶=𝐷，所以𝐴𝐷⊥平面𝐶𝐷𝐸𝐹.11ACBCCF1 443

，则a333C．3

23D．232(1(2正四面体的3∶；(3直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)(5)球与圆台的底面和R2面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：R2典例5PABCPAABCPAAB2AC4PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积 C． 【答案】【解析】如图，由题可知，底面△ABC为直角三角形，且ABCπ2AC23则BCAC23PA2AB2则球O的直径2R PA2AB2OS4πR220π 四棱锥PABCD的底面为正方形ABCD，PA底面ABCD，AB2，若该四棱锥的所有点都在体积 2 2【答案】AC、BDEPCOOEOOR

1PC

π

PA28

9π11

一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2 2已知A,B,C,D是某球面上不共面的四点，且ABBCAD1，BDAC ，BCAD，则2B．B．2C．2 D．4考向四一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关 如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点【解析】（1）CA,B的任意一点,AB是圆柱底面圆的直径,BC⊥AC.在Rt△ABC中,BC=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=√4−1故𝑉三棱锥𝐴−𝐴𝐵𝐶1

1SABC×AA1=1△ △

1×AC×BC×AA1=

x√4−𝑥2

1√𝑥2(4−𝑥2)3

1√−(𝑥2−2)2+3x2=2,x=√2时,A1-ABC23方法二：在Rt△ABC中

从而𝑉三棱锥𝐴−𝐴𝐵𝐶

S△ABC×AA1=

AC×BC≤

=,AC=BC=√2 成立

A1-ABC2316π的球内接一个正三棱柱, △ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC22

2 2 2的正方3 333 332的平面截球所得圆面面积为π 城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果 B．C． 4O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差 B．C． 已知圆锥的高hrhr21，且圆锥的体积V18π18 B．9(12C．9

316C．173

163D．356PAABCEABCD为正方形，AD2，ED1，PADElPABCD 2如图格纸上小正方形的边长为a粗实线画出的是某几何体的三视图若该几何体的表面积为3 则a的值为2 1 2已知PABCPCABCPCAC1AB2BAC60 B．C． 的体积

2π3将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒器皿中,则水面的高度是 6正三棱锥的高为1，底面边长为6

，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积 已知三棱锥PABC的外接球半径为2，PA平面ABC，ABBC，PAAC，则该三棱锥体积 ABCDABADBCDCBD5AC8ABCD 如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCDDAB60ADDCPAB平面QBC求该组合体QPABCD的体积1（2019单位：cm 2（20192的正三角形，E，FPA，AB的中点，∠CEF=90°O的体积为A．8 B．4C．2 D．3（2018单位：cm22 4（20183形且其面积为 ，则三棱锥DABC体积的最大值333 3333C． 335．（2017新课标Ⅱ理科）如图格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几 B．C． 6（2017 B．4 7．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）A．1

C．31

,3 10．（2019年高考卷理科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为

的正方形，侧棱长均为522 12（2019的体积是 13．（2017山东理科）14 14．（2017理科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球 15（2017体积为V，球O的体积为V，则V1的值 16（2018 17（2018 心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为 18（20188

45°，若△SAB的面积为

，则该圆锥的侧面积 PABCD434S234544448 2B．23长方体，棱长分别为3S4632662623192【答案】22

的等腰直角三角形，高为a122a1122a43 解得a .三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.ABC是边长为2所以AMBC，且AM 1BM21232213cos60717 7

AM2BM210AB2，AMB1 BC又因为BC 则V3VABBC33S△BBCAM223sin 2 ABCABC911 理非常重要，属于基础题.（1）AMBC；由各边长度，结合余弦定理，（2）棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积可求解【答案】14

4【答案】AD23AB2AD2BD2ABADBCADADABCADAC，AB2BC2AC2,所以△ABC,△AD23CD

R1CD

333V π

π 2 【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)求解.先确定三角形BCD外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积得结果.【解析】由题意,2,设正三棱柱的侧棱长为2ℎ(0<ℎ<2),底面边长为𝑎,则OA

3a,𝑂′𝑂23𝑎)2=4，即𝑎2=12 则该正三棱柱的体积为V1a232h33h4h2 2 2则V3343h222323当0h 时，𝑉′>0； h2时，𝑉23232332即当h2332

23，所以球的半径 323263323263外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果【答案】OA1OB2ACBRt△ABCS12222D．3AC1CD2BC3ACCDBCDEACBC1

2312322故该几何体的表面积为S 4122 34 D．球的半径为√1+4=√54π⋅5=20π.A. ，可得城墙所需土方为20543855502

（立方尺780330026011R4，所以球的表面积为4πR2h r、高为hr2 2

42，得4r2h264h2644r2所以圆柱的侧面积S2πrh

r28264(0r<4)r28r22时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π32π32π【答案】【解析】圆锥的高hrhr21h2r 又圆锥的体积V18πr625∴h625

πrh 18π h2h2

则圆锥的表面积为Sπrlπr2π335 ．R2，圆锥的底面半径为r1，高为h2，故所求体积为V14π2311π12231π PAABCEABCDAD2EDPADE的体积为1，所以

1PA

1PA1211，PA3

P

PABCDADABAP为宽，长，高的长方体的体对角线，（2R2AD2AB2AP244917，即4R217，则外接球的表面积为4πR217πABEDCFAB2ABBCBE3aAB2

32a则 9a2，

92a2

所以该几何体的表面积为27a292a2

a23 a1.故选232【解析】ABCAC1AB2BAC601222212222122AC2BC2AB2ACBCDABD为△BACABCPABC的外接球的球心为O，连接OP，则OP

1125即三棱锥PABC的外接球的半径为R 525∴三棱锥的外接球的表面积等于4π5

5π 233

，为则体积为213故答案为2π

32123【答案232

π的扇形，所以圆锥的母线l33l22π32π，因此底面的半径rl23

21π122

22π2 2【解析设 器皿中水面的高为hcm,则水面圆的半径为 3h πh,【答案】8526π【解析】如图，球OPABCOR632PH是正三棱锥的高，即PH1．E是BC边中点，H在AE上，△ABC的边长为 632HE

3666

2，所以PE ，可以得到

P

O6 364

263

322336所 ，解得：R3223366所以此球的表面积是S 6R来R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．43PC2R42又PAAC，所以PAAC 2BCxAByABBCx2y2AC28所以该三棱锥的体积为VP

13

AP .xy2时，取最大值43故答案4310103BD中点OACEAO,CO,OE ∴AOBD，COBD，AOCO4 COOBDAOC4

5325254又OEAC

211则 215 B 故答案为10113（1）∵QD平面ABCDPA∥QDPA平面ABCD，∴PABC BC平面PAB，BC平面QBC，PAB平面QBC（2）BDBBOAD于OPAABCDBO平面ABCD∴PABO又BOAD，AD平面PADQ，PA平面PADQ， AD∵ADAB2，DAB60∴△ABD3 33 1 BO1112 33 3梯形 ∵ADCABC9023CBDCDB30，BDAB23∴BCCD ∴ 1223sin30 3

1

QD1

3223

3

∴该组合体的体积V

113 6下底为632632634636162 故选

PAPBPC,△ABC2的等边三角形，PABC2PBACEFPAAB的中点，EF∥PB，EFACEFCE2 AC

6R

6,V4R34π66

6 PAPBPC2xEFPAAB23△ABC为边长为2的等边三角形，CF 3又CEF90，CE

3x2,AE1PAx2x243x2△AEC中，由余弦定理可得cosEAC

22PDACD，PAPC

DACcosEACAD1 x243 2x21x21，x 2，PAPBPC 2 AB=BC=AC=2，PA,PB,PC2R

，R 66V4R3466

6【答案】21122262【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等【答案】MABC的重心，EACDABCMDABCODOBR4S△ABC

3AB24

，AB6 点M为三角形ABC的重心，BM BE 3323332OB2BMRtOB2BM1

2，DMODOM426VDABC

936333

【名师点睛本题主要考查三棱锥的外接球考查了勾股定理三角形的面积和三棱锥的体积，DABCABCDABCABCBM2BE23OM3难题型【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为41V32436，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积1V1(326)27，故该组合体的体积VV

相应体积求解．AC1AB112r

3 3233由圆柱的体 ，可得圆柱的体积是Vπr2hπ 1

π2 利用相应体积求解（2）若所给几何体的体积不能直接利用得出，则常用等积法、分割法、 为V 3( 21) 1，选 （（3）【解析】该几何体的直观图如图所示该几何体是一个球被切掉左上角的1后剩余的部分,设球的半径为R,则V74πR328π,解得8R2

7的球面面积与三个扇形面积之和8S