人教版高中数学必修四第一章单元测试(一)及参考答案

人教版高中数学必修四第一章单元测试(一)及参考答案

2018-2019学年必修四第一章训练卷三角函数(一)注意事项：1.答题前请填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上。2.选择题请用2B铅笔将答案标号涂黑，非选择题请用签字笔直接答在答题卡上。3.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交。一、选择题1.sin²120°等于()A.±33B.2C.±3/2D.1/22.已知点P的坐标为(sin(3π/4),cos(3π/4))，则点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/43.已知tanα=3/4，α∈(3π/2,2π)，则cosα的值是()A.±4/5B.±3/5C.±5/4D.±5/34.已知sin(2π-α)=4/5，α∈(2π/3,π)，则sinα+cosα的值等于()A.1/7B.-1/7C.-7D.75.已知函数f(x)=sin(2x+θ)的图象关于直线x=π/8对称，则θ可能取值是()A.π/2,3π/2B.-π/4C.4πD.4π/36.若点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是()A.(π/2,π)B.(0,π/2)C.(π/3,π/2)D.(π/4,π/3)7.已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是()A.一条直线B.一段正弦曲线C.一段余弦曲线D.一段正切曲线8.为了得到函数y=sin(2x+π/3)的图象向左平移π/12个单位，应该将x改为()A.2x+π/12B.2x-π/12C.2(x+π/12)D.2(x-π/12)A.将函数y=cos2x的图象向右平移π/6个单位长度。B.已知函数y=Asin(ωt+φ)的图象如右图所示，当t=1/100秒时，电流强度是5A。C.选项A，ω=2，φ=π/2。D.选项C，ω=1/4π。11.选项B，ω=3。12.选项A，φ=π/6。13.扇形的周长为22πcm。14.方程sinπx=1/4的解的个数是6个。15.f(7π/12)=2。16.正整数t的最小值是6。17.函数y=3-4sinx-4cos2x的最大值为3，最小值为-7，最大值对应的x值为π/2，最小值对应的x值为π。18.实数a的值为2。19.选项D，ω=2，φ=π/2。5.【答案】B【解析】∵sin()sincoscossin,∴sin10sin20cos10cos20cos(2010)34,故选B.6.【答案】D【解析】∵sinsin(),coscos(),∴sincossin()cos()sincos,∴sin2cos2sin4cos4sin8cos8sin16cos16……sin2ncos2n，故选D.7.【答案】C【解析】∵2cos21cos()cos(),∴2cos212coscos2cos2,∴cos234,∴cos±√32,∵0,，∴6或56,故选C.8.【答案】D【解析】∵sin()sin,cos()cos,∴sin2cos2sin(2)cos(2)sin2(2)cos2(2)sin2cos2,∴sin4cos4sin2(4)cos2(4)sin4cos4,∴sin8cos8sin8cos8，故选D.9.【答案】A【解析】∵sin()sin,cos()cos,∴sin2cos2sin2(2)cos2(2)sin2cos2，故选A.10.【答案】C【解析】∵sin()sincoscossin,∴sin10sin20cos10cos20cos(2010)34,故选C.二、填空题11.【答案】1【解析】∵sincos(90),∴sin15sin75cos15cos1512sin3012,故填1.12.【答案】1【解析】∵cos22cos21,∴cos20cos40cos80cos20cos20cos40cos40cos80cos802cos2012cos4012cos8012cos20cos40cos802cos20cos802cos40cos8012sin10sin20sin40sin80112,故填1.13.【答案】1【解析】∵sin()sin,cos()cos,∴sincossin()cos()sincos，故填1.14.【答案】2【解析】∵sin()sin,cos()cos,∴sin2cos2sin2(2)cos2(2)sin2cos2，故填2.15.【答案】3【解析】∵sin()sincoscossin,∴sin15sin45sin75sin15cos15sin1512√221232,故填3.三、解答题16.【解答】(1)∵f(x)sin(x)cos(x)sinxcosxsinxcosx2sinx45，∴f(x)的最小正周期为2.(2)∵f(x)的最小正周期为2,∴f(x)f(x2k)(kZ).∵f(x)2sin(x45)，∴2f(x)2,∴2f(x2k)2(kZ).∴f(x)的值域为2y2.故答案为2y2.17.【解答】(1)∵f(x)absinx,∴f(0)a2,f()a2b0,∴b1,∴f(x)2sinx.(2)当x0,时，sinx0,1，∴2sinx2,3，故f(x)的值域为2,3.故答案为f(x)的值域为2,3.18.【解答】(1)∵f(x)2cos2x2cosx1,∴f(x)2cos2xcosx14sin2x141，∴f(x)的最小正周期为.(2)∵f(x)的最小正周期为,∴f(x)f(xk)(kZ).∵4sin2x1415,∴sin2x142412，∴1214x141214，∴1214kx1214k(kZ).故答案为1214kx1214k(kZ).19.【解答】(1)∵f(x)32sin(x),∴f(x)的最小正周期为2,∴2.∵f(x)的图象与y轴交于点(0,3),∴f(0)32sin3,∴sin0,∴Z,∴0或10，∴弧长Lr310206cm.又弦长ABBC10cm，∴弧段AC2LAB1210cm.∴弧段ADACCD121030640cm.故填(640)cm.14.【答案】【解析】∵f(x)4sinx2cosx4sinx4sin(x)4sinx4sinx8sinx.∴8,周期T2.故填.15.【答案】1【解析】∵f(x)3sin(2x3)2cos(2x6)3sin2xcos33cos2xsin32cos2xcos62sin2xsin63sin2x32cos2x12sin2x72sin2x32.∴最大值为72，最小值为32，∴幅值为72322.∴峰值因数为231.故填1.16.【答案】3【解析】∵f(x)2cos2x3sin2x2sin2x,∴最大值为3，最小值为2，∴幅值为1，∴峰值因数为123.故填3.10.根据公式l=αr，可得l=6π，再根据周长的公式C=2πr+2l，代入l的值和题目给出的r=20cm，可得周长为(6π+40)cm。14.在同一坐标系中画出y=sinπx和y=1/4x的图像，观察可知两个函数图像有7个交点，因此方程有7个解。15.方法一：根据图像可知T=π，带入公式ω=2π/T，可得ω=3。因此，y=2sin(3x+φ)，代入x=7π/12，可得sin(7π/4+φ)=0，解得φ=kπ-3π/4。代入函数公式，可得f(7π/12)=2sin(7π/4+kπ-3π/4)=2sin(2kπ-π/4)。方法二：根据图像可知T=π，根据正弦函数图像性质，可得f(x)=f(x+2kπT)，代入x=7π/12和T=π，可得f(7π/12)=f(7π/4+2kππ)=f(3π/4+2kππ)=f(π/4+2kππ)=2sin(2kπ-π/4)。因此，f(7π/12)=2sin(2kπ-π/4)。综上可知，f(7π/12)=2sin(2kπ-π/4)。16.周长公式为C=2πr，代入r=20cm，可得C=40π。由于T=6，因此在一个周期内，圆心角的度数为360°/6=60°。在这60°中，弧长为40π/6=20π/3。因此，当t=15/2时，弧长为20π/3*15/2π=5π，圆心角为5π/20π*360°=90°，因此弦长为20cm*sin(90°/2)=20cm。因此，最小的t为8。17.将y=3-4sinx-4cos2x化简为y=4sin2x-4sinx-1，再令t=sinx，则y=4t^2-4t-1。因为-1≤t≤1，所以y的最大值为7，当t=-1时取到，y的最小值为-2，当t=1/2时取到，因此x=π/6+2kπ或x=5π/6+2kπ时，y取到最小值-2；x=3π/2+2kπ时，y取到最大值7。18.因为2x+3∈[3,6]，所以cos(2x+π)∈[-1,1]。当a>0时，cos(2x+π)=1时，y取得最大值(2a+3)/2；当a<0时，cos(2x+π)=-1时，y取得最大值-a+3。因此，当(2a+3)/2=4时，a=2；当-a+3=4时，a=-1。因此，实数a的值为2或-1。19.(1)分母为0时，即sinx=0，此时分子为x^2，因此极限为0。当分母不为0时，可以将分子和分母同时除以x^3，得到(x/sinx)^2/x，当x趋近于0时，分子趋近于1，分母趋近于1，因此极限为1。因此，该函数在x=0处的极限存在，为0。【解析】(1)改写后：已知函数$y=2\sin(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})$，求函数图像上最低点的纵坐标和周期$\omega$。解：令$y=2\sin(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})=A\sin(\omegax+\varphi)$，其中$A=2$，$\varphi=\frac{\pi}{3}$，最低点为$M(\frac{3}{2},-2)$。由于最低点到相邻两个交点的距离为$\frac{\pi}{2}$，所以周期为$T=\pi$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$。(2)改写后：已知函数$f(x)=2\sin(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})$，求函数的定义域。解：由于正弦函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$，所以只需考虑函数的振幅和相位对定义域的影响。振幅为$2$，不影响定义域。相位为$\frac{\pi}{3}$，当$\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}$在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$内时，$\sin(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})$的取值在$[-1,1]$内，所以$\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，即$x\in[-1,2]$。综上，函数的定义域为$[-1,2]$。(1)函数$f(x)=\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)$，其中$\frac{\pi}{3}\leqx\leq\frac{7\pi}{3}$。因为$\frac{x+\pi}{3}$的取值范围为$\left[\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right]$，所以$\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)$的取值范围为$[-1,1]$。又因为$\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)$的周期为$2\pi$，所以$\omega=1$。由于$\sinx$的最大值为$1$，当$\frac{x+\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$时，$f(x)$取最大值$2$；$\sinx$的最小值为$-1$，当$\frac{x+\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}$时，$f(x)$取最小值$-1$。因此，$f(x)$的值域为$[-1,2]$。(2)函数$f(x)=\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)$在区间$\left[0,\frac{5\pi}{3}\right]$上的图象如下图所示：\begin{figure}[htbp]\centering\begin{tikzpicture}[scale=1.2]\draw[->](-0.2,0)--(5.2,0)node[right]{$x$};\draw[->](0,-1.2)--(0,1.2)node[above]{$y$};\draw[domain=0:5*pi/3,samples=100]plot(\x,{sin((\x+pi)/3)});\draw[dashed](0,1)--(5*pi/3,1);\draw[dashed](0,-1)--(5*pi/3,-1);\draw(0,0)node[belowleft]{$O$};\draw(pi/2,0)node[below]{$\frac{\pi}{2}$};\draw(7*pi/6,0