人教版高中数学必修一教学讲义-集合

人教版高中数学必修一教学讲义-集合

教学案年级：高一课次：1学员姓名：XXX辅导科目：数学学科教师：XXX授课日期及时段：XXXX年XX月XX日第X-X节课课题：《集合》全章复习巩固课型：复习课教学内容：《集合》全章复习巩固【知识网络】【要点梳理】要点一：集合的基本概念1.集合的概念：集合是由若干个元素组成的总体。2.元素与集合的关系：（1）属于：a属于A，记作a∈A。（2）不属于：a不属于A，记作a∉A。3.集合中元素的特征：（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的。（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。4.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合。无限集：含有无限个元素的集合。要点二：集合间的关系1.子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B，对于任何集合A规定∅⊆A。两个集合A与B之间的关系如下：A=B⇔A⊆B且B⊆AA⊂BA≠B其中记号A⊄B（或B⊄A）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。2.子集具有以下性质：（1）A⊆A，即任何一个集合都是它本身的子集。（2）如果A⊆B，B⊆A，那么A=B。（3）如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C。（4）如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C。3.包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么A⊆B（或B⊇A）。不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么A⊄B（或B⊄A）。4.有限集合的子集个数：（1）n个元素的集合有2^n个子集。（2）n个元素的集合有2^n－1个真子集。b,c，则该集合的非空子集个数为2^3-1=7个。例3．若含有三个元素的集合可表示为a,b,c，则该集合的非空真子集个数为2^3-2=6个。要点解释：3.集合的基本运算1.在求两个集合的交集和并集时，要注意“或”和“且”的意义，不要混淆。2.用维恩图表示交集和并集。3.交集和并集的有关性质和结论如下：(1)A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。(2)A(UA)；A(UA)U。(3)德摩根定律：((4)AA)(UB)U(AB)；(UA)(UB)U(AB)；BAAB；ABABA。4.全集和补集1.全集和补集是相互依存不可分离的两个概念。全集是指我们所研究的各个集合的全部元素组成的集合，补集是在AU时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作U-A。2.补集和全集的性质如下：①UA{x|xU且xA}；(UA)AU②AU，UU；③AU，U；UU，U。5.空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。【典型例题】类型一：集合的含义与表示例1．选择恰当的方法表示下列集合。(1)“mathematics”中字母构成的集合：{a,e,h,i,m,s,t}.(2)不等式x+1≤的解集：{x|x≤-1}.(3)函数y=2x-4的自变量的取值范围：{x|x为实数}。【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。【变式1】将集合{(x,y)|(x+y=5)或(2x-y=1)}表示成列举法，正确的是：{(2,3)}。【变式2】已知集合A={(x,y)|x,y为实数，且x^2+y^2=1}，B={(x,y)|x,y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为2。例1.已知集合A={x｜x2-4x+3≤0}，则A的元素是（）。A.{1,2,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,3}解析：将x2-4x+3化为(x-1)(x-3)，则原不等式可化为(x-1)(x-3)≤0，解得1≤x≤3，即A={x｜1≤x≤3}，故选项C正确。举一反三：【变式1】已知集合A={x｜x2-4x+3≤0}，B={x｜x2-6x+8≤0}，则A∩B的元素是（）。A.{1,2}B.{2,3}C.{2}D.{1,3}【变式2】已知集合A={x｜x2-2x+1≤0}，则A的元素是（）。A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}例2.已知集合A={x｜x2+2x-8>0}，则A的元素是（）。A.{x｜x>2或x<-4}B.{x｜x>2且x<-4}C.{x｜x<-2或x>4}D.{x｜x<-2且x>4}解析：将x2+2x-8化为(x+4)(x-2)，则原不等式可化为(x+4)(x-2)>0，即x<-4或x>2，故选项A正确。举一反三：【变式1】已知集合A={x｜x2-4x+3>0}，则A的元素是（）。A.{x｜x<1或x>3}B.{x｜1<x<3}C.{x｜x<1或x>3}D.{x｜x<1且x>3}【变式2】已知集合A={x｜x2-6x+9>0}，则A的元素是（）。A.{x｜x<3}B.{x｜x>3}C.{x｜x≠3}D.{x｜x≤3或x≥3}例3.已知集合A={x｜mx2-2x+3=0，m>0}，则A的元素是（）。A.{1}B.{1,3}C.{3}D.无解解析：由二次方程的解的判别式可知，当m>0时，mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，即A有两个元素，分别为这两个实数根。设这两个实数根分别为α和β，则有α+β=2/m，由于m>0，所以α和β必定同号，即αβ>0。又因为αβ=3/m>0，故α和β同为正数或同为负数，即它们的和α+β>0，故选项B正确。举一反三：【变式1】已知集合A={x｜x2-2x+1=0}，则A的元素是（）。A.{1}B.{1,2}C.{2}D.无解【变式2】已知集合A={x｜mx2+2x+1=0，m>0}，则A的元素是（）。A.{1}B.{1,-1}C.{1,-2}D.无解例4.设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x-a≥0}，或A∩B，则a的取值范围是（）。A.a≥3B.a≤1C.1≤a≤3D.a≥1解析：由题意可知，A∩B表示既属于集合A又属于集合B的元素构成的集合。若B={x｜x-a>0}，则A∩B={x｜a<x≤3}，若B={x｜x-a≥0}，则A∩B={x｜a≤x≤3}。因为A∩B=（x｜a≤x≤3），所以a≤3。因为A∩B=（x｜x≥1），所以a≥1。综上可得1≤a≤3，故选项C正确。举一反三：【变式1】设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x+a≥0}，或A∩B，则a的取值范围是（）。A.a≥3B.a≤-1C.-1≤a≤3D.a≥1【变式2】设集合A={x｜0≤x≤2}，B={x｜x-a≤0}，或A∩B，则a的取值范围是（）。A.a≤0B.a≥2C.0≤a≤2D.a≤2例5.设集合A={x｜x2+4x=0}，B={2，3}，C={2，-4}，满足A∩B的值是（）。A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,-4}解析：将x2+4x=0化为x(x+4)=0，得到x=0或x=-4，故A={0，-4}。由于A∩B={x｜x∈A且x∈B}，所以A∩B={2}。因为2不属于集合A∩C，所以A∩C=∅。故选项A正确。举一反三：【变式1】设集合A={x｜x2-4x+3=0}，B={1，3}，C={2，-4}，满足A∩B的值是（）。A.{1}B.{3}C.{1,3}D.{1,3,-1}【变式2】设集合A={x｜x2-2x+1=0}，B={1，2}，C={2，-1}，满足A∩B的值是（）。A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅例6.已知全集U=R，集合M={x｜-2≤x-1≤2}和N={x｜x=2k-1，k=1，2，…}的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（）。A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析：将不等式x-1≤2化为x≤3，将不等式x-1≥-2化为x≥-1，故M={x｜-1≤x≤3}。由于N={x｜x=2k-1，k=1，2，…}，即N是所有奇数的集合，故阴影部分所示的集合的元素区是M∩N={x｜-1≤x≤3且x为奇数}，即{x｜-1，1，3}，故选项A正确。举一反三：【变式1】已知全集U=R，则集合M={x｜-3<x-2<3}和N={x｜x=3k，k=1，2，…}的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（）。A.3个B.2个C.1个D.无穷多个【变式2】已知全集U=R，则集合M={x｜-1≤x-2≤1}和N={x｜x=4k+1，k=1，2，…}的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（）。A.3个B.2个C.1个D.无穷多个例8.已知集合$A=\{x\mida-4<x<a+4\}$，$B=\{x\midx<-1\text{或}x>5\}$，且$A\cupB=\mathbb{R}$，求$a$的取值范围。解：由$A\cupB=\mathbb{R}$，可得$A$和$B$的交集为$\varnothing$。因为$B$中的元素已经包含了$A$中的所有可能取值范围之外的部分，所以$a$的取值范围应当满足$a-4\geq-1$或$a+4\leq5$，即$a\geq3$或$a\leq1$。举一反三：已知集合$A=\{x\mid-2\leqx<7\}$，$B=\{x\midk+1<x\leqk+4\}$，且$A\cupB=\mathbb{R}$，求实数$k$的取值范围。解：同样由$A\cupB=\mathbb{R}$，可得$A$和$B$的交集为$\varnothing$。因为$B$中的元素已经包含了$A$中的所有可能取值范围之外的部分，所以$k$的取值范围应当满足$k+4\leq7$，即$k\leq3$。例9.已知集合$A=\{x\mid1<x<5\}$，$B=\{x\midx<a\text{或}x\geqa+2\}$，且$A\cupB=\mathbb{R}$，求$a$的取值范围。解：由$A\cupB=\mathbb{R}$，可得$A$和$B$的交集为$\varnothing$。因为$B$中的元素已经包含了$A$中的所有可能取值范围之外的部分，所以$a$的取值范围应当满足$a\leq1$或$a\geq7$。【变式1】已知集合$A=\{x\mid-2\leqx\leq5\}$，$B=\{x\midk+1\leqx\leq2k-1\}$，且$A\capB=\varnothing$，求实数$k$的取值范围。解：由$A\capB=\varnothing$，可得$B$中的元素不包含在$A$中，即$k+1>5$或$2k-1<-2$，即$k>4$或$k<-\frac{1}{2}$。1.D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的。2.设U=R，A={x|a≤x≤b}，B={x|x>4或x<3}，U=Z，且对于任意的a，b，c∈T，有abc∈T；对于任意的x，y，z∈V，有xyz∈V。求a和b的值。3.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为多少。4.若A={1,4,x}，B={1,x2}，且A∩B=B，则x的值为多少。5.已知集合A={x|ax-3x+2=}至多