初中数学八年级无理方程详细教程沪教版

无理方程【学习目标】1、理解无理方程的概念，会区分有理方程和无理方程。2、会用在方程两边平方的方法解可以化为一元一次方程或一元二次方程的无理方程，并会验根。3、知道用换元法解无理方程的条件，会用换元法把某些特殊的无理方程化为有理方程。4、通过无理方程有理化的过程，知道验根是解无理方程的必要步骤，领会转化思想在解无理方程中的作用，掌握无理方程验根的基本方法。5、会正确判定无理方程是否有实数解。【例题精讲】例1：以下关于x的方程，为无理方程的是〔 〕A、x2—3、：'3x+订2€0 b、 , €12—1x—2考点：无理方程的概念分析：根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程．解答：选项A中的根号内不含未知数，此方程为整式方程；选项B中的根号内不含未知数，此方程为分式方程；选项D中的根号内虽含有字母，但只是常数并非未知数，所以也不是无理方程，此方程为分式方程；选项C中的根号内含有未知数x,符合无理方程的定义，所以该题答案为C。点评：此题主要考查无理方程的定义，关键在于分析各方程的根号内是否含有未知数．针对练习：以下方程中为无理方程的是〔 〕A、\2x—1€2 B、\2x,1—1€0 c、 — €2 D、 一?=0x—11—x J5x例2：解方程：\：x2—1€、：2x—1考点：解无理方程分析：两边直接平方把根号去掉，把无理方程转化为有理方程来求解，最后把所得的解代回原方程中进行检验。解答：两边平方得x2—1€2x-1，整理后得x2—2x€0，解得x€0,x€212检验：分别代入原方程检验得X€0时根号内的数为负数不成立，为增根舍去,1故原方程的根为X=2。点评：解无理方程的基本方法是把方程两边同时平方，这样可能使未知数的允许取值范围扩大，于是就有可能产生增根，所以在解答此类题目时一定要注意验根。例3：解方程：2jx+5+10€x考点：解无理方程分析：把方程移项后，两边平方求解，最后把所得的解代回原方程中进行检验。解答：移项，得+5€x-10，两边平方，得4(x+5)€(x一10丄，整理，得x2一24x+80€0，解得x€20,x€4。12检验：分别代入原方程检验得x€4时方程左右两边不相等为增根，2•…原方程的解为x=4。点评：本例中的无理方程与例2有所不同，如果直接两边平方，方程中仍将含有根号，起不了有理化的作用。所以解这类方程，应该先移项，把被开方数中含有未知数的根式放在方程的一边，其余的移到另一边，再两边平方。由于解无理方程可能产生增根的原因较复杂，所以在验根的时候还需要注意应该把解得的有理方程的根逐一代入原方程，方程成立的是原方程的根，不成立的是增根，而不是仅仅只把根代入根式中进行检验是否为非负。例4：解方程:、；2x—4^/1+5€1考点：解无理方程分析：方程中含有两个根式，通过移项，把原方程变为叮2x-4二山+5+1,再两边平方,转化为有理方程，再分别解有理方程，把所得的解代回原方程中进行检验。解答：移项，得2x—4€\x+5+1两边平方，整理得x-10€2、［x+5再两边平方，整理得x2-24x+80=0解得x€4,x€2012检验：分别代入原方程检验得x€4时方程左右两边不相等为增根，1…原方程的解为x€20。点评：这种解法是根据原方程的特点适当移项，原则是减少根式的个数，使解法较为简便同时在把无理方程变为有理方程时，需要将方程两边都乘以相同的次数，直到全部去根号为止。例5：解方程：、:'3x+4—x—5€、.：x—3考点：解无理方程分析：方程中含有三个根式，通过移项，把原方程变为€、迈丁二5+^匚二3，再两边平方，转化为有理方程，再分别解有理方程，把所得的解代回原方程中进行检验。解答：移项，得f3x+4€£2x—5+xx—3两边平方，整理得、G二3y云二5€6再两边平方，整理得2x2-llx-21€03解得x=7,x=—1223x— i检验：分别代入原方程检验得2 2时"3x,4没有意义为增根，…原方程的解为x=7。点评：本例的方程是含有两个以上根号内含有未知数的无理方程。解这类无理方程，由于在几个根号内都含有未知数，求解时可能会要多次把方程两边平方；为使求解过程不致很繁，应注意几个根式适当搭配，以使平方后尽量简单。比方本例中各个被开方数中例6:解方程：x2+8x,x2+8x=12考点：解无理方程，换元法分析：观察发现v'x2，8x=x2,8x，如果设px2+8x二y，那么原方程就可转化为y2+y二12，再解方程。解答：设“x2+8x二y，则原方程可化为y2+y二12。解这个方程，得yi=3,打=—4。当y=3时，vx2+8x=3，•:x2,8x—9=0，•:x=1,x=一9；112当y=—4时，£x2+8x=-4无解。2检验：把x=1,x=—9分别代入原方程的左右两边，因为左边=右边，12x=1,x=—9是原方程的根。12・•・原方程的根是x=1,x=—912点评：解无理方程，如同解分式方程一样，首先要观察方程的特点，选择用换元法还是两边平方法。像本例这样比较复杂、但又很特殊的无理方程都可以通过换元法直接转化为有理方程来解。针对练习:解以下方程：〔1〕2x2,x—5弋2x2,x=6⑵4x2—10x—5%;2x2—5x,9,6=0例7：以下方程中，在实数范围内有解的是〔 〕A、$x—8+i：5—x€2B、\：3x+1+2€0C、\j3—x,x—3€1 D、Jx,2€x考点:无理方程分析:判断无理方程是否有解可以从被开方数是否非负以及二次根式的非负性来判断。解答:选项A中x-8和5-x不能同时为非负，故根式无意义；选项B移项后二次根式为负整数了，故无实数根；选项C要使两个根式有意义x只能取3，但x=3时等号两边不相等，故无解；选项D两边平方解方程可知方程的解为x=2，故该题选D点评:此题考查了无理方程的，解题的关键要注意是否有实数根，有实数根时是否有意义。针对练习：以下方程中，有实数根的是 。x 1①x3+8=0；②16x4+81=0；③ = ；④x4一2x2+4=0；x一1x一1⑤\x—4+叮1—x=2；⑥\1—x+叮x—1=2；⑦1—x2,\x2—1=0；⑧、4x2—1,3=0:⑨>/x2,10=1；⑩x2—x=—2x课堂小练习：、选择题1、以下方程中，不是无理方程的是〔B、2、C1、以下方程中，不是无理方程的是〔B、2、C、D、72x+-、］3—x=1以下方程中，有实数根的方程是〔A、A、B、3、c、\X+1=2以下说法正确的选项是〔D3、c、\X+1=2以下说法正确的选项是〔D、v'x—1+、：1—x=2A、方程x=J2x+3的根是，1和3B、方程七,x2—2x+1—4=0的根是x=5C、方程衬x—1=7—x的根是x=10D、方程*：2y+3=-y的根是y=-14、方程f'x2—4x+4=x-2的根的情况是〔 〕A、无实数根B、只有x=2一个根C、有无数多个实数根D、只有两个实数根二、填空题5、在以下方程后的括号内，填入方程的根，或“无实数根”.①<x-2=0〔〕；②<'x+2=0〔③<x，2=x〔 ；④<x+2=x〔⑤弋x2-16=3〔 〕；⑥x2+16=3〔⑦Jx+4•Jx，4=3〔 ：1； ⑧Jx+4•Jx_4=0〔⑨和,3x+5+1=0〔 ；；⑩\x，4+f3，x=3〔6、如果方程、：2x-5+2=k无实数根，那么k的取值范围是x7、已知方程x—3m=3+m有一个根是x=3,那么m= .8、解方程x2一8x+*'x2一8x=6时，设y=Jx2—8x换元后，整理得关于y的整式方程9、解方程］J+—+4 —4时，设jl+—y换兀后，整理得关于y的整式方程TOC\o"1-5"\h\zxx+9 x是 •10、 假设1x+y―51+p'x―y―6—0,则xv- .11、 函数f(x)—a+Jx+a中，f(一1)—3，那么a= .12、假设关于x的方程小2+2x+2p—p只有一个实数根，那么这个根是 .三、解方程：13、x+2——x 14、x+\x—2—416、15、x—1•2x+6—x—16、18、2x2—5\x2—3x—1—6x+5四、解答题19、已知关于x的方程J3x-a二x有一个根是1,求这个方程的另一个根.3（2a-1）>3a-8的方程：20、已知a是非零整数，且满足］11-3a ，解关于x的方程： >a+2〔2x2-3x+3Qx2-3x=10a.课后作业〔A卷〕一、填空题1、 方程寸2x—1+寸1—2x€0的根是 2、 假设关于x的方程jx—1+m€1没有实数根，那么m 3、 方程”2x2+m2一2m=3x一2有一个解是x=1，则m= 4、方程J2x-3,3x-4•J4x—5=0的实数根的个数是 个5、 Jx—y—6+|x+y—5|=0的解是 6、 假设\；x+y•Qx+y—1)=2，则x+y= 7、 点A(4,2)和点B的距离为8〔1〕假设点B在x轴上，则点B坐标为 〔2〕假设直线AB平行于y轴，则点B坐标为 8、已知点A(—1,—1)，PA=5，且点P到x轴距离为3,则点P坐标为 9、 已知A(—4,0),B(0,0),且AB=AC=BC，则C点坐标为 10、 已知A(2,2),B(5,—2)，点M(a,0)在x轴上，且„AMB=90。，则a= ,S=—…AMB二、选择题11、以下无理方程有实数根的是 〔 〕A、、■'x+6=—xB、弋2x—1+1=0C、\'x—3+v2—x=5D、€x—3—\：x—2=112、如果x>0,y>0，且3x一212、如果x>0,y>0，且3x一2y=卞xy91A、一 B、14则-的值可能是xC、〔〕D、以上都无可能13、以下判断错误的选项是A、方程丫x+5=x一1没有负数根〕B、方程fx+2=x<x+2的解的个数为2C、方程丘+9=3—x没有正数根14、以下判断错误的选项是D、方程(—2)(节3)=0的解为x=2,x=3x2—4 1 2A、含有根号的方程不一定是无理方程B、无理方程的根一定是无理数C、如果x=a不适合于无理方程，那么就称x=a是该方程的增根D、无理方程的根需检验，检验时只要考虑每个根式是否有意义即可解方程15、17、4 17、4 ，吕x€118、■\：4x—3€\3x€1，3四、解答题19、关于x的方程x—4一Qx+a，1有一个增根x，4，求a21、已知a是非零整数，且„：（"J：^+1，试解关于x的方程J3x—2€41€3，3a15—2a>1+a22、€ABC中，,C=90。,a、b、c分别是ZA、,B、,C的对边的长⑴求证：关于x的方程a(1„x2)+2bx+c(1+x2)二0有两个相等的实数根〔2〕如果CD是斜边AB上的高，AB=25,BC=20,BD=1+3jy+5，求y的值课后作业〔B卷〕一、 选择题1、以下方程中有实根的是〔 〕A、fx+1+x+2+3=0B、％：x—9+y'4—x=16C、空x2+1—x2+2=1——zD、6\：x2-2x+6=21+2x一x2x2+12、在方程：1、叮x—2=、；一x；2、x—1+3=0；3、*x—3=1—x；4、t+*t+1=0；TOC\o"1-5"\h\z5、帯5-x=x一7；6、7x+2=一兀中，无实根的方程个数是〔 〕A、2个 B、3个 C、4个 D、5个3、 方程\：'x+10—6、；x+1=\；'x+1—3的解是〔 〕A、8 B、小于8的一切实数C、不小于8的一切实数 D、大于8的一切实数4、 当OVkV2时，方程J|l_X=kx的解的个数为〔 〕A、0 B、1C、2 D、3\o"CurrentDocument"3 _5、 方程4，x，. ―斗x，1=0〔 〕x—4A、有一解 B、有两解C、有四解 D、无解6、已知A(0,2),B(3,-2),假设C点