人教课标版高中数学必修5《等比数列(第2课时)》教学设计

中，a1234中，a1234aaaa5a,则m（）

一、教学目标1．核心素养通过对等比数列第二课时的学习,提高逻辑推理和数学运算能力,逐渐形成举一反三的思维.2．学习目标（1）类比等差数列性质,猜想等比数列性质.（2）能证明等比数列的性质.（3）能利用性质减少运算量,迅速解决等比数列相关问题.3．学习重点掌握等比数列的性质及证明.4．学习难点等比中项的确定与学会挖掘条件,利用等比数列性质解决问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考等比数列相邻三项有怎样的关系关系?知道前后两项一定能确定中间项吗?任务2由特殊到一般,通过特殊等比数列,思考若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则对应项会有怎样的关系?任务3等比数列中,随机挑选出来的项还能构成等比数列吗?需要满足怎样的要求?请证明你的结论?2.预习自测一、选择题

1.已知等比数列a1公比q1,且an1mA.4

1/17

中,q2qqqa27434(32)n1

的前三项,∴（a+1）

的前三项依次为4,6,9,可得公比q=

4中,q2qqqa27434(32)n1

的前三项,∴（a+1）

的前三项依次为4,6,9,可得公比q=

4(32)n1．故答案为:4(32)n1ab2345,3n12=（a-1）（a+4）,

32q15,∴m-1=15,解得m=16．故答案为:16．则a（）C.6D.7答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

∵等比数列aa1,公比q≠±1,aaaa...a,n1m1236

∴qmlq

2.等比数列中，a3,2A.9B.-9C.9D.0答案:C.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力

根据已知条件求出等比数列的通项公式:a或-3n-1,然后求得a3二、填空题

1.已知等比数列前三项:a1,a1,a4,则a________.n

答案:

【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

解析：∵a-1,a+1,a+4为等比数列an

解得:a=5,∴等比数列a,首项为4,n则a=n（二）课堂设计1．知识回顾等差数列性质

（1）若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A＝.

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为等差数列,且m＋n＝p＋q,则a是等差数列,公差为d,则a猜想等比数列有怎样的性质？回顾旧知,进行类比ab2为等差数列,且m＋n＝p＋q,则a是等差数列,公差为d,则a集思广益,大胆猜想为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈Nl,akm等比数列性质的证明温故知新,类比证明夯实基础,证明性质Gan1*),则m,...仍是等比数列,公k2m重点、难点知识★▲bGpq,则aaaqmnpqan,即:G2为等差数列,且m＋n＝p＋q,则a是等差数列,公差为d,则a猜想等比数列有怎样的性质？回顾旧知,进行类比ab2为等差数列,且m＋n＝p＋q,则a是等差数列,公差为d,则a集思广益,大胆猜想为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈Nl,akm等比数列性质的证明温故知新,类比证明夯实基础,证明性质Gan1*),则m,...仍是等比数列,公k2m重点、难点知识★▲bGpq,则aaaqmnpqan,即:G2a22a．ab.a2qpq2aanmnpq（3）若a,a,a,...(k,m∈N*)是公差为md的等nkkmk2m差数列.2．问题探究问题探究一●活动一等差数列的性质分为三点

1.若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A＝..

2.若aaaa(m,n,p,q∈N*)．nmnpq3.若a,a,a,...(k,m∈N*)是公差为md的等nkkmk2m差数列.●活动二类比猜想等比数列性质亦分为三点1.如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2＝ab.

2.若aank3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a,ak

比为qm．

问题探究二

●活动一回忆等差数列性质的证明,均是利用等差数列的定义,同样不妨尝试利用等比数列的定义对等比数列性质进行证明●活动二

1.由定义得

2.若mmn1

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,ak2m怎样利用等比数列的性质初步运用,形成思维.)0,n中,依次取出n,求

的通项公式.32为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈Nl,akm,...仍是等比数列,公比为qm．重点、难点知识★▲aa2aa2435,ak2m怎样利用等比数列的性质初步运用,形成思维.)0,n中,依次取出n,求

的通项公式.32为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈Nl,akm,...仍是等比数列,公比为qm．重点、难点知识★▲aa2aa2435n*),则m,...仍是等比数列,公k2m462anaa25,求a.aa.5a．km

问题探究三

●活动一例1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11＝16,则log2a10＝(A．4B．5C．6D．7答案:B.【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】●活动二能力提升,完善思维.

例2.已知{a

答案:5.【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

例3.已知等差数列{a}的第二项为8,前十项的和为185,从数列an

第2项、第4项、第8项、……、第2n项按原来的顺序排成一个新数列bn数列bn答案:bn【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3．课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳)【知识梳理】1.如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2＝ab.

2.若aank3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a,ak

比为qm．

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0时,a,b才有等比中项且有两个,它们互为相反数,若中共所有证明都要结合定义,从而进行推理,论证.nan）4,a0时,a,b才有等比中项且有两个,它们互为相反数,若中共所有证明都要结合定义,从而进行推理,论证.nan）4,a3aa13）222ap9,求它们的等比中项即a由题意可知236,故a6,即4与9a”,可以减少运算量,提高解题速度．q,

1.只有当a,b同号,即ab

ab0,a,b没有等比中项.

2.等比数列a

3.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若

m＋n＝p＋q,则am4.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形．此外,解题时注意设而不求思想的运用．随堂检测一、选择题1.4与9的等比中项为（A.6B.-6C.±6D.36答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质】

假设等比数列{an},a1

a222.等比数列{an}中,a和a是方程x2+6x+2=0的两根,则a108

A.

B.

C.

D.2

答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质,根与系数的关系】

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2,a6）2169的各项均为正数,且满足:aa192n95195logaloga...logalog22,a6）2169的各项均为正数,且满足:aa192n95195logaloga...logalog212229212aaa123____________62.22.a)的值为（1a8aaa9255,aaa789．,故答）6,因为a...aa25102log,则a=9109loga,所以a92．故答案83.已知数列{b}是等比数列,b是1和3的等差中项,则bbn216A.16B.8C.2D.4答案:D.解析:【知识点:等比数列性质】更多

由题意可知b=2,所以bbb24

4.已知等比数列a4则数列log的前9项之

和为______．答案:9.解析:【知识点:等比数列的性质,对数运算性质】

∵an＞0,且aa4a2aa,a2．

∴

为:9．

5.已知{an}是各项均为正数的等比数列,

aaa45

答案:5

解析:【知识点:等比数列的性质,等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

由等比数列的性质知,aaa,aaa,aaa成等比数列,所以aaa12345678956

案为5

（三）课后作业基础型自主突破一、选择题

1．已知-9,a,a,-1成等差数列,-9,b,b,b,-1成等比数列,则b(a212322

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98a11214）a中,若a19022193,∴,∴q=3,∴该数列前五项的积8,98a11214）a中,若a19022193,∴,∴q=3,∴该数列前五项的积8,a3）B.-8C.8

D.

答案:B.解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列的性质】

设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,有−9+3d=−1,b2=9,因为b是第三项,2与第一项同号,所以d=,b2=-3,∴ba22.已知等差数列{a}的首项a,公差d,且a是a与a的等比中项,则dn（A.-1B.1C.-2D.2答案:B.解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列通项公式】

由a是a与a的等比中项,得=a∙a,即(a+d)2=a(a1414111又a=1,∴（d+1）2=3d+1,又

3.在等比数列an1

A.3

B.3

C.1

D.1答案:D.解析：【知识点:等比数列的性质】

∵等比数列{an}中,a,a14

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14121412a和等比数列b中,已知nbn221中,bb,∴6n-14=2n-1,解得n=3或n=5,∴满足an_______．ax10的根为x,x,由韦达定理可得24(a1),则a（42,aa5a1的n的所有取值构成的集合是_________.b1=1,b2=2,∴q=b的14121412a和等比数列b中,已知nbn221中,bb,∴6n-14=2n-1,解得n=3或n=5,∴满足an_______．ax10的根为x,x,由韦达定理可得24(a1),则a（42,aa5a1的n的所有取值构成的集合是_________.b1=1,b2=2,∴q=b的n的所有取值构成的集合是nax10、x2bx10xx）4(a1),∴(a48,a2bn的四个根组成以2为公比的等比数列,xa112,b12

1x21,b22n1,∵n221,那么满足；设x2bx10的根为12345

4．已知等比数列{a}满足a,aan135A.2B.1

C.

D.18

答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】

设等比数列{an}的公比为q,∵a

化为q3=8,解得q=2则a2=a×2=．故选:C．1二、填空题

1.在等差数列n

an答案:{3,5}解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

∵在等差数列a中,a=-8,a=-2,∴d=a-an

∴an=-8+（n-1）×6=6n-14,∵等比数列b=2,∴bn

an{3,5}．

2.设两个方程x2

则ab

答案：见解析解析：【知识点:等比数列性质,根与系数关系】

设x21

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xb34x1,xx1,根据等比数列的性质,可设此数列为x,x,x,x34134xx224x2中,a19920的前n项和为S4x1342238xb34x1,xx1,根据等比数列的性质,可设此数列为x,x,x,x34134xx224x2中,a19920的前n项和为S4x1342238,又因为xx,x2x9240,a,a为方程x2－10x＋16＝0的两根,则a502S61222,3,b322a803,a5x924a2S3,则此数列的公,xx327422x42432234

xx12

则有

1

可得x1

a1

ab

能力型师生共研一、选择题

1.已知等比数列an的值为（）A.32B.64C.256D.±64答案:D解析:【知识点:等比数列的性质】

2.已知等比数列a,满足ann比为（）A.2B.3C.4D.5答案:B

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65f(x)x）a的前n）aan656562aa155-2S4=5pxn1a355q(p120,aa50,q20,aa564,∴a和a65f(x)x）a的前n）aan656562aa155-2S4=5pxn1a355q(p120,aa50,q20,aa564,∴a和a为方程x2-20x+64=00)64,则35的两个不同的零点,且a,b,-2这三个

∵a=2S4+3,a=2S5+3,即2S4=a-3,2S5=a-3a-3-（a-3）=a5=2a,即3a=a∴3a=aq解得q=3,故选B5

3.若a,b是函数

数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq的值等于（

A.6B.7C.8D.9答案:D.解析:【知识点:等差数列与等比数列的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】

由题意可得:a+b=p,ab=q,∵p＞0,q＞0,可得a＞0,b＞0,当a,b,-2适当排序后成等比

数列时,-2必为等比中项,故ab=q=4,．当适当排序后成等差数列时,-2必不是等差中项,当a是等差中项时,,解得a=1,b=4；当是等差中项时,=a-2,解得a=4,b=1,综上所述,a+b=p=5,所以p+q=9,选D．

4.设正项等比数列n项和为S,且,若aannS（4A.64或120B.256C.120D.64答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质】

∵1,∴0＜q＜1,∵a

n

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12aaaaaaaaaaaaaa

aaaa1,所以a3n4,设aa1,2,3,4时{c}递减,nnb23nn234512aaaaaaaaaaaaaa

aaaa1,所以a3n4,设aa1,2,3,4时{c}递减,nnb23nn234554,5,6,7...时cbp5442

-2bnnb递增,4p3

a1

234ann,,bnaaaa6,aann5,在数列{c}中,c4c(nN),则实数p的取值范围是_______.

∵an＞0,0＜q＜1,∴a＞a,∴a=16,a,535

∴a=64,a=32,a=16,a=8,∴S4=a+a+a+a1234234探究型多维突破一、填空题

1.如果数列a1,,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a

12n1________．答案：32.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】

由题意可得＝2n(n≥2),所以＝－2,＝(－2)2,＝(－

n1123

2)3,＝(－2)4,将上面的4个式子两边相乘得＝＝32,又

41

a1

2.已知数列{a}的通项公式为anp,数列{b}的通项公式为bnn

cn

答案：见解析解析：【知识点:等差数列与等比数列的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】

因为cc,所以c是最小项,所以n44

而数列{a}是递减数列,数列{bn

当ca时,有a即34p,4454711414414

11/17

b时,必有a44p中,4142332233或232或aa.的前n项和,S

121212123a,所以a1+a2+a3=2a3,求得q=1或q=选C中,aa7．aa4b时,必有a44p中,4142332233或232或aa.的前n项和,S

121212123a,所以a1+a2+a3=2a3,求得q=1或q=选C中,aa7．aa4141412,a46,a）b4p3aa

4b4p,45,则（a10,即aa2020）=q10=p5,343所以实数的取值范围是4

自助餐一、选择题

1.在等比数列aaan71110A.

B.

C.

D.

答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】

由等比数列的性质可知aaaa6,而aa5,所以a=2,a=3或a=3,711414144144aaa=2.因为a=aq10,所以q10==或=,所以144

2.设S为等比数列a3a,则公比q（）n33

A.

B.

C.1或

D.-1或

答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】

因为S3

3.在正项等比数列a是方程3x2-11x+9=0的两个根,则an36

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3,9239a的首项1）是等比数列a1loga22a与公比为q的等比数列b有相同的首项,同n)1416339aa61211111...logaa2111a是等比数列n3,9239a的首项1）是等比数列a1loga22a与公比为q的等比数列b有相同的首项,同n)1416339aa61211111...logaa2111a是等比数列n3,即a2,则loga22a2210,61123,舍去-3．故选Cloga211aq,log121126...loga5aa2

...aalog1155,故选C.

B.116C.3

D.

答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,根与系数关系】

∵aa是方程3x2-11x+9=0的两个根,∴aa,又数列,则3

a64.已知等比数列a公比qn（A.50B.35C.55D.46答案:C.解析：【知识点:等比数列性质,对数运算性质】

∵a,公比q=2∴aan∴loga21

5.已知公差不为零的等差数列n

时满足a,a,b成等比,b,a,b成等差,则q243133A.

B.

C.19

D.18

答案:C.

13/17

的公差为d,aab3d)2aaq2(2)4139129ac,则a,b,c成等比数列；为等差数列,且常数cn为等比数列,且常数cn）ca的公差为d,aab3d)2aaq2(2)4139129ac,则a,b,c成等比数列；为等差数列,且常数cn为等比数列,且常数cn）cac为等比数列,故②正确；ncac不为等比数列,故③错误；na2n131320

0n1

nn1n1ann2,将a,d,q代入得,化简得为等比数列；为等比数列；cd,,,,,a3aaan是首项为1,公比为2的等比数列,则

设数列的首项为a,等差数列an2abb2(a2d)aaq2(1)(a

(ad)2a(a4d),解得ad(d0),代入（1）式得q2.

6.已知下列命题

①b2

②若a,则数列can③若a,则数列can④常数列既为等差数列,又是等比数列.其中,真命题的个数为（A．1个B．2个C．3个D．4个答案:A.解析：【知识点:等差数列,等比数列】在①中,b2=ac,当b=c=0时,a,b,c不成等比数列,故①错误；

②若{an}为等差数列,且常数c＞0,则

∴数列ca

③若{an}为等比数列,且常数c＞0,则ca,不是常数,

∴等比数列的性质得数列ca

④由0构成的常数列为等差数列,但不是是等比数列，故④错误.

7.对于数列{an},若满足a

1

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等于（aa3aaaaaa

a2aaa=中,若aaa中,已知an3

a中,）22n

，aa

12n1等于（aa3aaaaaa

a2aaa=中,若aaa中,已知an3

a中,）22n

，aa

12n199a2254n是等比数列,则a是首项为1,公比为2的等3n100aa______．2222

12，n199..a100aaaaa3

299=1×2×22×…×299=21+2+…+99=4950（1+2+…+99）,而100A.2100B.299

C.25050D.24950答案:D.解析：【知识点:等比数列性质,等比数列通项公式】

根据题意:a=a..a3.