探究三角形相似的条件九年级数学上册

北师大版九年级上册第四章图形的相似4.4.1探究三角形相似的条件相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.A1B1C1D1E1F1ABCDEF六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1一、知识回顾思考：什么叫相似三角形呢？对应角—相等一、知识回顾对应边—成比例全等是一种特殊的相似相似三角形定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.三角形ABC∽三角形A1B1C1二、探究新知ABCA1B1C1思考：两个三角形至少满足什么条件就相似呢？类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个相似的条件？ABCA1B1C1二、探究新知判定方法全等三角形相似三角形角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SASHL三角形全等的性质和判定方法有哪些？需要三个等量条件思考

全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？直角边、斜边二、探究新知思考：如果两个三角形只有一个角相等，它们相似吗？ABCA1B1C1不一定那如果两个三角形有两个角相等，它们相似吗？60°60°二、探究新知操作：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45°,再画△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形形状相同吗？ABCA′B′C′请问∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？这两三角形是相似的猜想：两角分别相等的两个三角形相似.二、探究新知已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求证：△ABC∽△A′B′C′.B’A’DEC’BAC证明：两角分别相等的两个三角形相似证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.

∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B，又∵∠B′=∠B，

∴∠A′DE=∠B′，∴DE∥B′C′，

B’A’DEC’BAC已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求证：△ABC∽△A′B′C′.过D连接DF//A′C′

∵DF//A′C′,DE∥B′C′∴四边形EDFC′是平行四边形

∴DE=FC′，∵

∴△A′DE∽△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’F两角分别相等的两个三角形相似.用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'相似三角形的判定定理：注意：对应点写在对应的位置.1.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°。那么△ABC与△DEF_______（“相似”或“不相似”）.

？

ACB40°

80°

FED80°

60°

相似三、典例讲解2.下列说法中正确的是(

)A．有一个角相等的两个等腰三角形相似B．所有的直角三角形相似C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似D．所有的等腰三角形相似三、典例讲解C

3.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.解：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴∴BC=14.BADEC三、典例讲解4.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.

AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB.∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.（两角分别相等的两个三角形相似．）三、典例讲解5.已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC

,∠DAE=∠3+∠DAC，∵∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC

，∠E=180°－∠3－∠AOE.

又∵∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE，∠C=∠E∴△ABC∽△ADE.三、典例讲解1.下列各组图形一定相似的是(

)A．两个钝角三角形B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形D．有一个角是对顶角的两个三角形四、课堂练习C

2.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(

)A．一定不相似 B.不一定相似C．一定相似 D.不能确定四、课堂练习C

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是(

)A．△DBE

B．△ADEC．△ABD

D．△BDC四、课堂练习D

四、课堂练习4.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°,∠E=80°

,∠F=60°

.求证：△ABC∽△DEF.

AFECBD证明：∵在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-80°=60°.∵在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）.5.如图，CD是Rt△ABC的高，∠ACB＝90°.求证：△ACD∽△CBD.

证明：∵∠A＋∠ACD＝90°，

∠BCD＋∠ACD＝90°，

∴∠A＝∠BCD又∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°∴△ACD∽△CBD.四、课堂练习

6.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于E.（1）求证：△ABD∽△DCE.（2）求CE的长∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE.解(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠ADB+∠BAD=120°，又∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°，四、课堂练习6104解：∵ABD∽△DCE，

∴CE=2.4.

6.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于E.

（2）求CE的长四、课堂练习五、课堂小结对应角相等，对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。∵∠A=∠D,∠B=∠E,,两角对应相等的两个三角形相似2.性质：∵△ABC∽