生活中的优化问题举例人教A版高中数学选修优秀课件

3.4

生活中的优化问题举例课标阐释思维脉络1.了解导数在解决利润最大、面积、体积最大(小)、效率最高、用料、费用最省等实际问题中的应用;2.掌握利用导数解决实际问题最大(小)值的方法.【思考】在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?答案:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.1.优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.2.解决优化问题的基本思路名师点拨

解决实际优化问题的一般步骤(1)认真阅读理解关于实际问题的材料,一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要认真地、细心地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.【做一做】

有矩形铁板,其长为6,宽为4,现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子,要使容积最大,则x=

.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利润(收益)最大问题(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于x的函数关系式;(2)年产量为多少吨时,该厂所获利润最大?分析由于投入的成本与x的不同取值范围有关,所以应该用分段函数表示利润函数,然后利用导数分段求解,求得最大值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测∴L(x)max=L(100)=1

000ln

100-2

000.∵1

000ln

50-250-(1

000ln

100-2

000)=1

750-1

000ln

2>1

750-1

000>0,∴当x=50,即年产量为50

000吨时,利润最大,最大利润为(1

000ln

50-250)万元.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用导数解决利润(收益)最大问题的方法利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:(1)利润(收益)=收入-成本;(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的利益.通过对市场的预测,当对两项投入都不大于3百万元时,每投入x百万元广告费,增加的销售额可近似地用函数y1=-2x2+14x(单位:百万元)来计算;每投入x百万元技术改造费用,增加的销售额可近似地用函数y2=-x3+2x2+5x(单位:百万元)来计算.现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告投入和技术改造投入,请设计一种资金分配方案,使得该公司的销售额最大.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测面积与体积最大(小)问题例2某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC,OA∥BC,AB=BC=2OA=4km,曲线段OC是以点O

为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大用地面积.(精确到0.1km2)分析首先应建立平面直角坐标系,求出抛物线段的方程,然后设出曲线段CO上顶点P的坐标,将矩形面积用P点坐标表示,最后用导数求其最大值.把点C(4,2)代入y2=2px(p>0),得4=8p,得p=,设该容器的总建造费用为y(单位:千元).∵1000ln50-250-(1000ln100-2000)=1750-1000ln2>1750-1000>0,答案:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告投入和技术改造投入,请设计一种资金分配方案,使得该公司的销售额最大.∴L(x)max=L(100)=1000ln100-2000.(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度航行?∴L(x)max=L(100)=1000ln100-2000.现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告投入和技术改造投入,请设计一种资金分配方案,使得该公司的销售额最大.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.容积为256的方底无盖水箱,它的高为时最省材料.(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.2OA=4km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.(2)要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具;面积与体积最大(小)问题(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大用地面积.了解导数在解决利润最大、面积、体积最大(小)、效率最高、用料、费用最省等实际问题中的应用;探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:以O为坐标原点,OA所在直线为y轴,以O点到BC的垂线为x轴建立直角坐标系(图略),设矩形落在曲线段OC上的一个顶点为P,抛物线方程为y2=2px(p>0).把点C(4,2)代入y2=2px(p>0),得4=8p,得p=,∴y2=x(0≤x≤4,0≤y≤2).令P(t2,t)(0≤t<2),记工业园区的用地面积为S

km2,则S=(4-t2)(t+2)=-t3-2t2+4t+8,0≤t<2.∴S'=-3t2-4t+4=-(t+2)(3t-2).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用导数解决面积与体积最大(小)问题的方法求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题,解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式,能够依据题意确定出自变量的取值范围,建立准确的函数关系式,然后利用导数的方法加以解决,必要时,可选择建立坐标系,通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程,以便于问题的解决.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为多少?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测费用(用料)最省问题例3现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地到B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度x(单位:海里/时)的函数;(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度航行?分析(1)写出函数解析式时要注意函数的定义域;(2)利用导数求最值,注意函数定义域的限制.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟费用(用料)最省问题的求解策略用料最省、造价最低类问题的求解思路是找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后借助导数予以求解.解题过程中要注意函数定义域的限制.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数学建模——生活中的优化问题典例某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为

立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y(单位:千元).(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域;(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛

解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域;(2)要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具;(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.某一件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当每件商品的定价为多少元时,利润最大?(

)A.105 B.110 C.115 D.120解析:利润为S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6

000,S'(x)=-2x+230,由S'(x)=0,得x=115,这时利润达到最大.答案:C(1)求k的值及f(x)的表达式;容积为256的方底无盖水箱,它的高为时最省材料.(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.∴L(x)max=L(100)=1000ln100-2000.面积与体积最大(小)问题令S'=0,得x=6000,当x<6000时S'>0;C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.(2)要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具;已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分每平方米建造费用为4千元.∴y2=x(0≤x≤4,0≤y≤2).设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.容积为256的方底无盖水箱,它的高为时最省材料.方法点睛解决优化问题的步骤(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.当x<1000时y'<0;掌握利用导数解决实际问题最大(小)值的方法.C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?探究一