2022年福建省福州市师范高等专科附属中学高三数学理期末试题含解析

2022年福建省福州市师范高等专科附属中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，，则的最大值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：D有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.2.在等差数列中，，则的值为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：A试题分析：在等差数列中，，所以，所以.考点：等差数列的性质3.过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，的面积为，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】令，代入双曲线方程可得，由三角形的面积公式，可得的关系，由离心率公式计算可得所求值．【详解】右焦点设，其坐标为令，代入双曲线方程可得的面积为

可得本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．4.设全集为R，集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=ex﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）A． B．C．1﹣D．1﹣参考答案：D【考点】定积分；几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为（ex﹣1）dx=（ex﹣x）|=e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是=1﹣．故选D．【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．6.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.设是定义在R上的可导函数,当x≠0时,,则关于x的函数的零点个数为(

)A．l B．2 C．0 D．0或2参考答案：C

8.下列四个命题中

①设有一个回归方程y=2－3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②命题P:“"的否定；

③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（X＞1）=p，则P（-l＜X＜0）； ④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6．679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（

）本题可以参考独立性检验临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.5357.87910.828 A．1个

B．2个 C．3个

D．4个参考答案：C略9.“”是“”的（）条件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分条件

D.不充分不必要参考答案：A略10.已知点为△所在平面上的一点，且,其中为实数，若点落在△的内部，则的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线：（为参数）上的点到曲线：（为参数）上的点的最短离为

．参考答案：112.在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若，，且，则λ的值为___________.参考答案：

=3×2×cos60°=3，，则13.已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于________．参考答案：214.已知满足约束条件,则的最大值为

▲.参考答案：215.若复数是纯虚数，则实数等于______.参考答案：

略16.已知，则的值为

▲

．参考答案：略17.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为_______．参考答案：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线与圆有公共点，即，的数组有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，……，(6,6)，共种，因此所求的概率等于．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，，函数的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：.参考答案：（Ⅰ），

分

的最小值为

……5分(Ⅱ)

……10分19.已知数列{an}满足：a1=2e﹣3，an+1+1=(n∈N*)．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）证明：数列{an}单调递增；（3）证明：．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；数列递推式；数列与函数的综合．【分析】（1）由，两边取倒数化为，即可证明．（2）由（1）可得：，令，利用导数研究其单调性即可证明．（3）由题知a1=2e﹣3，an≥a1＞1，可得，即，又，利用错位相减法与数列的单调性即可证明．【解答】证明：（1）∵，∴，即，∴数列为等差数列．（2）由（1）知，即，令，则，显然f'（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴在[1，+∞）上单调递增，故数列{an}单调递增．（3）由题知a1=2e﹣3，∵an≥a1＞1，∴，即，又∵，∴，令，则，两式相减，得=，故，∴，∴．20.（12分）（2012?佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．参考答案：考点： 函数模型的选择与应用．

专题： 应用题．分析： （1）根据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．（2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．解答： 解：（1）设，∵售价为10元时，年销量为28万件；∴，解得k=2．∴=﹣2x2+21x+18．∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；在（9，+∞）上是关于x的减函数．∴当x=9时，y取最大值，且ymax=135．∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．点评： 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．属于基础题．21.函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．参考答案：略22.（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论；（3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分．解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a），f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵g′（x）=a﹣﹣=，而当=1，即a=时，①当≤1即a时，g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min=g（1）=0≥0；②当＞1即0＜a＜时，g′（x）=0时x=；且1≤x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0；则g（x）min=g（）≥0①，又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．

（2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，令x依次取，，，…，时，则有×（﹣）≥ln，×（﹣）≥ln，…×（﹣）≥ln，由同向不等式可加性可得[（+++…+）﹣（+++…+）]≥ln（n+1），即[（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1），也即[2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n