2022-2023学年广东省汕头市城效中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省汕头市城效中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义域在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，则实数a的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象，从而可得x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3=1﹣2a，从而解得．【解答】解：由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，结合图象，设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=a，x3=1﹣2a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，∴a=．故选B．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的性质应用，属于中档题．2.已知，其中i为虚数单位，则a+b=(

) A．﹣1 B．1 C．2 D．3参考答案：B考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．解答： 解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．点评：本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．3.已知、是夹角为的单位向量，若=+3，=2﹣，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件即可求出，而根据即可求出的值，而可得到在方向上的投影为，从而求出该投影的值．【解答】解：根据条件：===；===；∴在方向上的投影为：===．故选B．4.已知公差不为0的等差数列{an}与等比数列，则{bn}的前5项的和为（）A．142 B．124 C．128 D．144参考答案：B【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】b1=a2=2+d，b2=a4=2+3d，b3=a8=2+7d，利用（2+3d）2=（2+d）（2+7d），d≠0，解得d．即可得出公比q，再利用求和公式即可得出．【解答】解：b1=a2=2+d，b2=a4=2+3d，b3=a8=2+7d，则（2+3d）2=（2+d）（2+7d），d≠0，解得d=2．∴b1=4，b2=8，公比q=2．∴{bn}的前5项的和==124．故选：B．5.设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【专题】阅读型．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＞b，取a=2，b=﹣3，推不出a2＞b2，若a2＞b2，比如（﹣3）2．＞22，推不出a＞b．所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不不要条件．故选D【点评】在本题解决中用到了不等式的基本性质，及举特例的方法．属于基础题．6.若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值为A.

B.6

C．12

D．16参考答案：D7.已知复数满足（为虚数单位），则z的值为

(

)A．

B.

C.1

D.－1参考答案：A8.设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}则A∩B＝（）A.[﹣3，2） B.（2，3] C.[﹣1，2） D.（﹣1，2）参考答案：C【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合，所以．故选：C．9.已知函数和，其中且，则它们的反函数的图像关于（）

A.轴对称

B.轴对称

C.直线对称

D.原点对称参考答案：A10.已知集合M={x︱2x≥},N={y︱x2+y2=4,x∈R,y∈R}︳，则M∩N（

）A.

B.

C.

D.N参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在同一个球面上，且该正三棱柱的体积为，三角形ABC周长为3，则这个球的体积为．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【解答】解：由题意可知：AA1=，∴AA1=2正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：=．所以外接球的表面积为：4π（）2=．故答案为：．12.已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为

．参考答案：【解析】本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆得圆与坐标轴的交点分别为则所以双曲线的标准方程为。答案：13.已知是双曲线：的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于，且，则双曲线离心率是_________________.参考答案：14.在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1．设△ABC的外心为O，若=m+n，则m+n=．参考答案：﹣1【考点】向量在几何中的应用．【专题】探究型；转化思想；转化法；平面向量及应用．【分析】设AB，AC中点分别为M，N，利用向量的三角形法则和三角形的外心的性质即可得出答案．【解答】解：设AB，AC中点分别为M，N，则=﹣=﹣（﹣n）=（）﹣，=﹣=﹣（﹣n）=+（），由外心O的定义知，⊥，⊥，因此，?=0，?=0，∴[（）﹣]?=0，[+（）]?=0，即（）2﹣?=0…①，?+（）2=0…②，∵=﹣，∴2=2﹣2?+2，∴?=（2+2﹣2）=1+…③，将③代入①②得：，解得：∴m+n=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题以向量在平面几何中的应用为载体，考查了向量的三角形法则和三角形的外心的性质，属于难题．15.已知直线的充要条件是a=

参考答案：答案：16.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 参考答案：117.（不等式选讲）不等式对于任意恒成立的实数a的集合为

。参考答案：令，函数的几何意义为数轴上的点到点-1和2的距离和，所以函数在内的最大值在x=6时取到，，所以要满足题意需，即实数a的集合为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）参考答案：解：（1），,.

（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为，种植学校观赏植物成本为，，,.

设

.

上为减函数；上为增函数.

当时，取到最小值,此时总利润最大：y.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值。略19.设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．20.化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．参考答案：0分析：直接将所给式子进行去括号，利用分式混合运算法则化简，再解不等式组，进而得出x的值，即可计算得出答案．详解：==3（x+1）-（x-1）=2x+4，，解①得：x≤1，解②得：x＞-3，故不等式组的解集为：-3＜x≤1，把x=-2代入得：原式=0．点睛：此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组解法，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．21.（2015?吉林校级四模）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．参考答案：【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

【专题】直线与圆．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．22.为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）人数525302515表2：女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）人数1020402010

（Ⅰ）若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成表3的列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（Ⅲ）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.表3：

上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生

女生

合计

附：，其中0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83参考答案：解:(1)设估计上网时间不少于60分钟的人数,依据题意有,解得:,所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人…………4分(2)根据题目所给数据得到如下列联表:

上网时间少于60分钟上网时间