2021年山西省临汾市陶寺中学高三数学理期末试题含解析

2021年山西省临汾市陶寺中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（）A．[2，+∞） B．[2，4] C．（﹣∞，2] D．[0，2]参考答案：B考点： 函数单调性的性质．专题： 计算题．分析： 先用配方法找出函数的对称轴，明确单调性，找出取得最值的点，得到m的范围．解答： 解：函数f（x）=x2﹣4x+5转化为f（x）=（x﹣2）2+1∵对称轴为x=2，f（2）=1，f（0）=f（4）=5又∵函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1∴m的取值为[2，4]；故选B．点评： 本题主要考查函数的单调性的应用3.已知，则A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知函数上有两个零点，则m的取值范围是A．（1,2）

B．[1,2）

C．（1,2]

D．[l,2]参考答案：B5.如图，点列{An}，{Bn}分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示P与Q不重合）．若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A．{dn}是等差数列 B．{dn2}是等差数列C．{Sn}是等差数列 D．{Sn2}是等差数列参考答案：C【考点】数列与解析几何的综合．【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则{dn}不一定是等差数列，{dn2}不一定是等差数列，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，则数列{Sn}为等差数列．故选：C．6.已知实数满足：，，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令，则，先画出直线，再平移直线，当经过点，时，代入，可知，∴，故选．7.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行参考答案：C若c与a，b都不相交，则与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾8.设函数,则在处的切线斜率为（

）A.0

B.-1

C.3

D.-6参考答案：D9.某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为（

）A．5

B．C．

9

D．11

参考答案：C由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。10.一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是(

) A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6参考答案：D考点：分层抽样方法．分析：先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．解答： 解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，故选D．点评：本题主要考查分层抽样方法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个

笔筒中至少放两支笔，有

▲

种不同的放法.(用数

字作答)参考答案：

略12.若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有

种（用数字作答）．参考答案：试题分析：由题意知，甲乙两人从门课程中各选修门总的方法数是,其中甲乙所选课程全不相同，有；甲乙所选课程有一门相同，有甲乙所选课程有三门相同，有所以，甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有：考点：1.分类计数原理；2.简单组合问题.13.双曲线的左，右焦点分别为，已知线段被点分成5:1两段，则此双曲线的离心率为

．参考答案：14.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则?的值为

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴?=（+）?（+）=（+）?（+）=?+?+?+?=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．15.(5分）（2010?泉山区校级模拟）已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为．参考答案：S3考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：假设后三个数均未算错，根据题意可得a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．再假设S2算错了，根据题意得到S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．进而得到答案解答：解：根据题意可得显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．答案为S3点评：本题考查利用反证的方法来解决从正面不好解决的问题和学生推理的能力．16.（5分）（2015?济宁一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：8【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，求出底面面积和高，代入锥柱体积公式，可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，其底面面积S=×（2+4）×4=12，高h=2，故棱锥的体积V=Sh=8，故答案为：8．【点评】：本题考查的知识点由三视图求体积和表面积，其中根据已知中的三视图，判断出几何体的形状，是解答的关键．17.在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，和都经过两点，是的切线，交于点，是的切线，交于点，求证：.参考答案：详见解析试题分析：要证明的结论是乘积式相等，通常变成比例式相等，这样就必须寻找三角形相似，三角形相似，就要寻找对应角相等，通过分析结合题目所给条件，不难找到证题思路.试题解析：因为是的切线，是的切线，根据弦切角等于同弧所对的圆周角，则有，所以∽故所以考点：直线与圆、圆与三角形.19.已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R．（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e，讨论导数的正负，即可求出单调区间．（Ⅱ）可得f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，求出ex在[0，2]上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e．…令f′（x）=0，解得x=1x（﹣∞，1）1（1，+∞）f′（x）_0+f（x）单减

单增故单调区间为在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增…..当x=1时f（x）取得极小值为f（1）=0…..（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，则有f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，…..而ex在[0，2]上的最小值为1，故k≤1…..20.（本小题满分14分）

已知函数，，其中，为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）对，是否存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设，当时，若函数存在三个零点，且，求证：．参考答案：【知识点】函数综合B14（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）略（Ⅰ）时，．∴………………1分由，解得；由，解得；∴在上单调递减，上单调递增．……2分∴．……………2分（II）令，其中由题意，对恒成立，∵∵，∴在二次函数中，，∴对恒成立，∴对恒成立，∴在上单减．∴，即．故存在使对恒成立．……4分（III），易知为函数的一个零点，∵，∴，因此据题意知，函数的最大的零点，下面讨论的零点情况，∵．易知函数在上单调递减，在上单调递增．由题知必有两个零点，∴，解得，∴，即．…………3分∴．…1分又．．．，得证．……………1分.【思路点拨】（Ⅰ）时，，由导数判断函数的单调性，可求得；（Ⅱ）令，，得，∴在上单减，∴，所以（Ⅲ），当时，若函数存在三个零点，易知为函数的一个零点，从而必有两个零点，则只需求