力学大会2015集分数阶算子积分性质

1,2，陈海波（1巢湖学院机械与电子，合肥238000（2师范大学物理与电子信息学院，芜湖分问题带来困扰。本文就各类文献中涉及的Riemann-Liouville,Caputo,力学、Hamilton力学。其后，Agrawal[3-5]分别研究了Riemann-Liouville,Caputo,Riemann-Liouville,Caputo,Riesz等分数阶算子的情况。 IIa义为

aaItftαt f t a其中为 Ib右Riemann-Liouville分数阶积tIb

定义为 ttIbftα(τ 1f t taRiesz分数阶积分（Riesz势）RIαf定aRIαft τtα1fbaa a

RIαft1Iαft Iαfta 2a t定义2fACabn1αn，则左Riemann-Liouville分数阶导taDαft定义为t aDαftDnInαft dn nα1f a a

nαdt

tbbDαftDnInαft t

则Riesz分数阶导RDαft定 R

dnDftDn

ft

tτ

f a a nαdt aRDαft1Dαft1nDαft 2 定义3：令fACabn1αn，则左Caputo分数阶导数Caαftt定为 tτn CDαft α(d)n tτn a a a 右Caputo分数阶导数CDαft定 CDαft I1αDnft b

)nf t t t

t RCDαftRInαDnft bt

f a a a RCDαft1CDαft1nCDαft 2 我们有下面题：1p1q ,且1p1q1αp1q1bftIαgtdt bgtIαft a

t证明:由分数阶积分的定义α tgα a ftIg a t bα

bf ftaItgtdtgtdtατt b g

Iαfttb命题1获证可以获得下列几组分数阶微分分部积分，这些在研究分数阶一般变分命题2：令n1αn,p1,q1，且1 p1q1α fLqa,b,则bftCDαgtdtbgtDαftdtDαjnftDn1jgt

（bftCDαgtdtbgtDαftdt1n

（bftDαgtdtbgtCDαftdt1n

（bftDαgtdtbgtCDαftdtDαjngtDn1jft

（ （18）

其中：

dn下面我们给出（17）和（19）两式的证明（一）、证明（17）式，由（17）式的左边 tftDαgtdtftDnInαg t 1nDn1Inαgtftb1n

tb tb1nDn1Inαgtftb1n1Dn2InαgtD1ft t

tta

1nDn1Inαgtftb1n1Dn2InαgtD1ft t 1n2

InαgtD2ftb

bInαgtDnft

tb at bbgtCDαftdtDαjngtDn1jf 式：由bftRDαgtdt

bft1Dα 2 2 1b α

α bftaDtgt fttDb

tdt

DαjngtDn1jft2 CDαftdt DαjngtDn1jf

1bgtCDαftdt1nbgtCDαftdt n11n αjn n1 b2

a

t

ftaa1nbgt1CDα1nCDαftdta 2 a jn αjn n1 b

ft

2a an 特别是：若n1，即0α1，我们有下面的特殊结论bftCDαgtdt bgtDαftdtgtI1αft t bbftCDαgtdt gtDαftdtgtI1αftt b a bftDαgtdtbgtCDαftdtftI1αgt a

bftDαgtdtbgtCDαftdtftI1αgtt t

bft

Dαgtdtgt

ft

bgt

ft aa

bftRDαgtdtftRI1αgttbbgtRCDαft aa

（20）—（25）便是众多文献经常提及与应用的一组P引入三个新算子P和 P定义4新积Kα定义P ftptkt,τfτdτqb a tatbPatbpqkαt,τ为一个依赖参数α（0α1）的积分核函数，p和q是两实参数。定义5AαBα定义 AαA

ftDnKnαftAαft ftKnαDnftBαft 命题3ftgt0α1，则积Kα

足下列bftKαgtdtbgtKαft aP

a,t,b,p,

，P

atbqpftgtn1αn，则AαBα满 a n aaftAPgtdt1

gtBPftdt1

gtDft

n jα aaftBPgtdt1a

gtAPftdt1A

f g

Patb,pqPatbqp需要的是，若

a,t,b,p,q取不（1（PP1atb,1bftDαgtdtbgtCDαftdt1n a bftCDαgtdtbgtDαftdtDαjnftDn1jgt a （2（PP2atbbftDαgtdtbgtCDαftdtDαjngtDn1jft a bftCDαgtdtbgtDαftdt1n a （3）PP3atb,121bftRDαgtdt1nbgtRCDαftdt1njRDαjngtDn1jft bftRCDαgtdt1nbgtRDαftdt1jRDαjnftDn1jgt 致谢：本文得到国家自然科学基金资助 ）F.Riewe,Mechanicswithfractionalderivatives.Phys.Rev.E55(3):3581-3592O.P.Agrawal,FormulationofEuler–Lagrangeequationsforfractionalvariationalproblems.J.Math..Appl.272,368–379(2002)O.P.Agrawal,FractionalvariationalcalculusintermsofRiesefractionalderivatives,40:6287-O.P.Agrawal,GeneralizedEuler-LagrangeequationsandtransversalityconditionsforFVPsintermsoftheCaputoderivative,J.Vib.Control.13(9-10):1217-1237.(2007)Malinowska,A.B.,Torres,DF.M.:Introductiontothefractionalcalculusofvariations.ImperialCollegePress,London(2012)O.P.Agrawal,GeneralizedVariationalProblemsandEuler-Lagrangeequations.ComputersandMathematicswithApplications.59:1852-1864.(2010)K.S.Miller,B.Ross.AnIntroductiontotheFractionalCalculusandFractionalDifferentialEquations,JohnWiley&Sons,Inc.,NewYork(1993)S.G.Samko,A.A.Kilbas,O.I.Marichev.FractionalIntegralsandDerivativesTheoryandApplications,GordonandBreach,Longhorne,PA,(1993)I.Podlubny.FractionalDifferentialEquations,AcademicPress,NewYorkTHEINTERGALPROPERTIESOFFRACTIONALZhangHongbin1,DingGuangtao2,ChenCollegeofMechanicalandElectronicEngineering,ChaohuUniversity,Chaohu,238000,CollegeofPhysicsandElectronicInformation,AnhuiNormalUniversity,Wuhu,241000,:,Consideringthedefinitionoffractionalorderderivativetherearemanytypesandtheseoperatorswithdifferentproperties,andperplexoneselftostudythevariationalproblemcontainingvariousfractionalor