高数隐函数求导几何中的应用课件

（分以下几种情况）隐函数的求导法则一个方程的情形复习二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即定理3.设函数则方程组③连续函数且有导数公式:①在点②可唯一确定一组满足条件满足:的某一邻域内具有连续偏导数；的某一邻域内的单值有隐函数组则两边对x求导得设方程组这些公式不需要死记，只要会解二元一次方程组即可.定理4.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理证明略.例4.

设解法1

方程组两边对x求导，并移项得求练习:

求答案:由题设故有运用推导公式的方法---直接法套用公式解法2直接代入公式---公式法例5.设求

解法：直接法第六节一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用第九章一、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线的参数方程:的向量方程对上的动点M,即是此方程确定映射,称此映射为一元向量

的终点M

的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.值函数.定义:给定数集D

R,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：因此下面仅以n

=3的情形为代表向量值函数的导数运算法则:设是可导向量值函数,是可导函数,则C

是常向量,c

是任一常数,向量值函数导数的几何意义:在R3中,设的终端曲线为,表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t的增长方向一致.,则设切线的方向向量:称为曲线的切向量.向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有

例1.

设速度向量：加速度向量：解：例2.设空间曲线的向量方程为

求曲线上对应于解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与t

的增长方向一致另一与t

的增长方向相反的单位切向量为=6例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻

t

的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻

t

的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解:(1)(3)由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.二、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线位置.空间光滑曲线在点M

处的切线为此点处割线的极限1.空间曲线的切线与法平面的定义空间光滑曲线在点M

处的法平面为垂直的平面2.空间曲线的切线与法平面的求法切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.存在且不全为0,因此得法平面方程

切线方程平面的点法式方程直线的对称式方程定理1设空间曲线的参数方程为对应的参数为，如果曲线在处有切线，且该切线的一个切向量为：曲线在M处的切线方程曲线在M处的法平面方程：，因此得例1.求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切线方程为法平面方程为即推论1.空间曲线方程为如果曲线在处有切线，且该切线的一个切向量为：证明：只需把x看成参数,则思考：平面曲线在处的切向量为切线方程为例2解切向量为：所求切线方程为：法平面为：求曲线上对应于的点处的切线与法平面方程.推论2.设光滑曲线导在处存在且连续（在M的邻域内），且二阶行列式

在处都存在且不全为零曲线在处有切线，且该切线的一个切向量为：当曲线上一点

且由隐函数的导数可知：可表示为处的切向量为证明：时,或结论：由已知的曲线方程和切点坐标就