电磁场与电磁波(第四章)

电磁场与电磁波(第四章)第1页，课件共33页，创作于2023年2月第一节唯一性定理一、边值问题存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边值问题分类：第一类边值问题：已知整个边界面上的电位函数分布值。第二类边值问题：已知在整个边界面上的电位函数法向导数。第2页，课件共33页，创作于2023年2月第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法向导数。二、唯一性定理唯一性定理内容：在场域V的边界面S上给定电位

或者的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。（或者：在边界条件确定的情况下，泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解都是唯一的）第3页，课件共33页，创作于2023年2月唯一性定理的意义：1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据。第4页，课件共33页，创作于2023年2月第二节直角坐标系中的分离变量法分离变量法：根据边界面的形状，选择合适的坐标系，假定待求的位函数可表示为三个函数的乘积，且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，将这个函数代入拉普拉斯方程，通过分离变量将原来的偏微分方程化为常微分方程。直角坐标中，拉普拉斯方程为：设可用三个函数的乘积表示：则：第5页，课件共33页，创作于2023年2月除以得：上式成立的条件是三项中每项都为常数，即：则：为待定常数

通过引入分离常数k，将拉普拉斯方程分解为齐次常微分方程。分别解常微分方程就可以得出原问题的解。第6页，课件共33页，创作于2023年2月1）当时，解为线性函数2）当为实数（即）时，解为三角函数形式3）当为虚数（即）时，解为双曲函数或实函数的指数函数由边界条件定出常数和解的形式常微分方程的解为：（k取值不同解形式不同）：第7页，课件共33页，创作于2023年2月导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即例：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。解：满足的边界条件为：设：无限长导体槽，故电位与无关第8页，课件共33页，创作于2023年2月由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。的一般解为：第9页，课件共33页，创作于2023年2月的解一般形式为：代入上式：第10页，课件共33页，创作于2023年2月等式两边同乘以，并对求积分：根据三角函数的正交性，等式右边当时为0：当时：所以，接地导体槽内部电位分布为第11页，课件共33页，创作于2023年2月例题二：如图所示，水平放置的两块半无穷大金属块接地，铅直放置的金属板与它们绝缘，并保持电势U。求三块板之间的电势分布。解：这是一个二维场求解的问题，与坐标Z无关。设：边界条件为：由条件1）、2）可得：第12页，课件共33页，创作于2023年2月的一般解为：的解一般形式为：第13页，课件共33页，创作于2023年2月代入条件4）得：等式两边同乘以，并对求积分：等式右边只有当时，不为0的表达式为：第14页，课件共33页，创作于2023年2月第三节镜像法

镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。

镜像法理论依据：唯一性定理。等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，故称为镜像电荷。镜像电荷位置选择原则：1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。第15页，课件共33页，创作于2023年2月一、平面接地导体边界1、点电荷对无限大接地导体平面边界的镜像原问题：无限大接地导体平面（z=0）,点电荷q：z=h求空间中电位分布。等效问题：要求：与原问题边界条件相同原电荷：q:z=h镜像电荷(等效电荷):-q->z=-h取消导体边界面，z>0空间媒质充满整个空间。第16页，课件共33页，创作于2023年2月由等效问题，可以求出在z>0空间内的电位分布为：讨论：无限大导体平面上感应电荷总量即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。第17页，课件共33页，创作于2023年2月2、线电荷对无限大接地导体平面边界的镜像无限长线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效：在z>0空间的电位分布为：第18页，课件共33页，创作于2023年2月3、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为，则所有镜像电荷数目为2n-1个。第19页，课件共33页，创作于2023年2月二、点电荷对球面导体边界的镜像1、点电荷对接地球面导体边界的镜像镜像电荷位于球心与电荷q连线上。令镜像电荷电量为，与球心距离为。空间中任意点处电位为：因为球接地，所以球上电位为0。第20页，课件共33页，创作于2023年2月可以推得：电荷q在接地导体球面上产生的感应电荷量：即：感应电荷总量等于镜像电荷电量。结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为球外电位：第21页，课件共33页，创作于2023年2月讨论：若点电荷q位于接地导体球壳内：类似地，可以求得镜像电荷：球壳内电位：球壳外电位：第22页，课件共33页，创作于2023年2月2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像不接地：导体球面电位不为0，球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为0）。处理方法：电位叠加原理处理过程：1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。2、断开接地。将电量为的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。3、均匀分布在导体球面上的电荷可以用位于球心的等量点电荷等效。第23页，课件共33页，创作于2023年2月结论：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：镜像电荷1：电量：位置：镜像电荷2：电量：位置：位于球心。球外空间某点电位为：第24页，课件共33页，创作于2023年2月三、线电荷对导体圆柱分解界的镜像如图：无限长线电荷位于导体圆柱外，距离轴心d。设镜像线电荷为，与轴心距离为。由无限长线电荷的电位第25页，课件共33页，创作于2023年2月结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为四、点电荷对电介质分解面的镜像问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h，求空间电位分布。分析：在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极化电荷和电荷q共同产生。第26页，课件共33页，创作于2023年2月解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。解决问题过程：设媒质1中电位函数为，媒质2中电位函数为。1、建立求解方程。镜像电荷位于z<0区域中，整个空间充满媒质1。则媒质1内P点电位为：第27页，课件共33页，创作于2023年2月2、建立求解方程。镜像电荷位于z>0区域中，整个空间充满媒质2。位置与q重合。3、在z=0面上应用电位边界条件第28页，课件共33页，创作于2023年2月上式即为点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为即可。五、例题例题一例题二第29页，课件共33页，创作于2023年2月例题一一个半径为a的导体球，其上带有电量为Q的电荷，一点电荷q位于导体球附近距离球心距离为d（d>a）。求：空间电位分布先假设导体球不带电，由镜像法可求得镜像电荷分布如图所示解：利用叠加法。第30页，课件共33页，创作于2023年2月则球外空间任意点处电位为：导体球是一个等位体，其电位为：第31页，课件共33页，创作于2023年2月例题二两无限长平行导体圆柱，半径均为a，轴线距离为d，求：两导体间的电