函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件11

第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能必备知识·探新知

函数的最大值和最小值

基础知识知识点前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)___________________________(3)∀x∈I，都有f(x)≥m；(4)∃x0∈I，使得f(x0)＝m结论M为函数y＝f(x)的最大值m为函数y＝f(x)的最小值∃x0∈I，使得f(x0)＝M

思考：函数的最值与值域有怎样的关系？提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)≥M，则(

)A．函数y＝f(x)的最小值为MB．函数y＝f(x)的最大值为MC．函数y＝f(x)无最小值D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值[解析]

根据函数最值的定义，易知选D．D基础自测2．函数y＝－|x|在R上(

)A．有最大值0，无最小值B．无最大值，有最小值0C．既无最大值，又无最小值D．以上都不对[解析]

函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．A3．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值(

)A．是f(0)

B．是f(3)C．是0 D．不存在[解析]

∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．D关键能力·攻重难题型一利用图象求最值[分析]

可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．题型探究例1[解析]

作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．[归纳提升]

利用图象法求函数最值的一般步骤是：【对点练习】❶用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为_____.[解析]

在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．6[分析]

利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．题型二利用单调性求最值例2[归纳提升]

1.利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．2．利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．

已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．[解析]

f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．题型三二次函数的最值例3函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；故x＝2处取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1[归纳提升]

定轴定区间的二次函数的最值问题的解法解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值．经常用到的结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1【对点练习】❸求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．[解析]

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1.函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数．所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1混淆“单调区间”和“区间上单调” 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合为___________.[错解]

函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.故填a≤－3.[错因分析]

导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区间上单调”．{－3}例4误区警示函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1[正解]

因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3.故实数a的取值集合是{－3}．[方法点拨]单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1例5学科素养函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1函数的最大小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1课堂检测·固双基函