自动控制原理课件第三章(宽屏)4

自动控制原理

第三章(第4次课)

12第五节线性系统的稳定性分析自动控制系统的首要要求：稳定性分析系统动态和稳态指标必须在系统稳定的前提下进行。研究内容：稳定性的概念(局限于线性系统）线性系统稳定的充要条件代数稳定性判据及其应用3

李亚普诺夫稳定性理论

如果一个线性控制系统在初始扰动作用下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并恢复到原始的平衡状态，则称系统是渐进稳定的，在工程上简称稳定。

反之，若在初始扰动作用下，系统的动态过程随时间的推移而发散，称系统是不稳定的。

一、稳定性的基本概念4

线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号（外部扰动量）和初始值无关。一、稳定性的基本概念5

设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉冲函数，当作用时间t>0时，=0，这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若系统的输出脉冲响应

即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定的。

稳定性与系统的输入信号无关，是系统本身固有的特性，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。二、稳定的充分必要条件6二阶系统的单位脉冲响应曲线图二、稳定的充分必要条件7设闭环系统的传递函数：设系统的极点互不相等。系统在脉冲输入信号作用下的输出：

对上式进行拉氏反变换，

得到理想脉冲函数作用下的输出：二、稳定的充分必要条件8不稳定系统：有一个或一个以上的正实部根。临界稳定：有一个或一个以上的零实部根或一对纯虚根，而其余的特种根都有负实部。

工程上，临界稳定为不稳定系统。临时稳定现象实际上时观察不到的。上式表明，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在复平面的左半部。二、稳定的充分必要条件9三、代数稳定性判据（劳斯判据）1877年，劳斯（Routh）提出了判断n次代数方程所有根都具有负实部的一般方法。1895年，数学家赫尔维茨（Hurwitz）也独立提出了同样的结果，只是形式不同。一种间接判断系统特征根是否具有全部负实部的方法系统特征方程：系统稳定需要满足的必要条件如下（否则不稳定）：系统特征方程次数不缺项系统特征方程系数符号一致（全为正）10系统的闭环特征方程为三、代数稳定性判据（劳斯判据）列劳斯表11如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，系统为不稳定。系统特征方程：首先检验：系统特征方程次数是否缺项系统特征方程系数符号是否全为正列劳斯表：三、代数稳定性判据（劳斯判据）12设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82412劳斯表特点4

每两行个数相等1

右移一位降两阶2

行列式第一列不动3

次对角线减主对角线5

分母总是上一行第一个元素7

第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。6

一行可同乘以或同除以某正数2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε0三、代数稳定性判据（劳斯判据）13

已知一系统的特征方程式为例3.1试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次(+到－，－到＋)，所以该方程中有二个根在S的右半平面。三、代数稳定性判据（劳斯判据）14已知某调速系统的特征方程式为

例3.2求使该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。因此可得：0<K<11.9三、代数稳定性判据（劳斯判据）开环增益为负时，理论上存在稳定的情况，但这种情况时，输出与期望值反向。此时误差很大，系统是靠很大的控制量维持这种稳定，在实际工程中没有实用价值。关于开环增益为负的讨论16（1）劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全为零或者没有其余项。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定

如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，

以一个很小的正数来代替为零的这项解决办法：据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列表示该方程中有一对纯虚根存在，相应的系统也属不稳定四、劳斯判据的特殊情况17已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例3.3

上面一行的首列与下面一行的首列符号相同，表示该方程中有一对纯虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。解：列劳斯表由于表中第一列四、劳斯判据的特殊情况18（2）劳斯表中出现全零行

用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。解决的办法：

这些根可以通过响应的辅助方程来求得，相应的系统为临界稳定或不稳定系统。这时表示方程中有一些大小相等但关于原点对称的根四、劳斯判据的特殊情况19某控制系统的特征方程为显然这个系统处于不稳定状态。例3.10试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表-4-4-1.5-4-310S1S2S0003S4S0-4-315S-4-7-216S-64-16.7四、劳斯判据的特殊情况20某一个控制系统的特征方程为系统处于临界(不)稳定状态。例试判别相应系统的稳定性。1638166161220S1S2S0003S4S0161225S1620816S248四、劳斯判据的特殊情况例3-11系统如右图所示，系统开环增益

确定使系统稳定的取值范围。解：系统的特征方程为

劳斯表为

四、劳斯判据的特殊情况22综上知

又因为

所以

的取值范围为四、劳斯判据的特殊情况23（2）实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。（1）劳斯判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。五、劳斯判据的应用24判断系统稳定程度的解决办法：此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线代入原方程式中，得到以

将右侧。五、劳斯判据的应用25用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上？有几个根在垂线的右方？

例3.6解：列劳斯表第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。五、劳斯判据的应用26式中有负号，显然有根在的右方。第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线s=-1的右方。令代入特征方程列劳斯表：12114120123----ZZZZ04)1(13)1(10)1(223=+-+-+-ZZZ五、劳斯判据的应用27例3-14某系统的闭环特征方程为

若要使系统特征根全部位于s=-1的左边，试确定K的取值。解：令代入特征方程得到

劳斯表为五、劳斯判据的应用28已知一单位反馈控制系统下图所示，试回答例时，闭环系统是否稳定？

时，闭环系统的稳定条件是什么？

列劳斯表：劳斯表第一列均为正值，所以系统稳定。特征方程为时，闭环系统的解：20152075020155010123S