自动控制原理课件第二章(宽屏)1

自动控制原理

第二章(第1次课)

1自动控制原理第二章控制系统的数学模型控制系统数学模型是对实际物理系统的一种数学抽象。

要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。

物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流。数学表达式：代数方程、微分方程。

动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性。用微分方程描述自动控制原理建模方法：分析法、实验法◆分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。

利用物理定律——如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。线性定常控制系统数学模型的类型时域模型微分方程频域模型频率特性方框图=原理图＋数学模型复域模型传递函数第二章控制系统的数学模型自动控制原理◆实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。

黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）系统辨识（数学建模）是一门独立学科

模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。第二章控制系统的数学模型自动控制原理5第二章内容概要第一节数学基础-拉氏变换及其应用第二节控制系统微分方程的建立

第三节传递函数第四节控制系统的方框图及其等效变换第五节信号流图自动控制原理第一节数学基础-拉氏变换及其应用一、拉氏变换定义

设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0

②t>0时，f(t)分段连续

则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限拉氏变换的积分下限为（零的左极限）自动控制原理7一、拉式变换的定义tf(t)tf(t)（零的左极限）（零的右极限）比如：单位阶跃函数在t=0处不连续自动控制原理3、指数函数：4、幂函数：1、脉冲函数：2、阶跃函数：二、常用函数的拉式变换自动控制原理9二、常用函数的拉式变换5、正弦函数：6、余弦函数：自动控制原理10二、常用函数的拉式变换

f(t)，t[0,)称为原函数，属时域。

原函数用小写字母表示，如f(t)，i(t)，u(t)。

F(s)称为象函数，属复频域。

象函数F(s)用大写字母表示,

如F(s)，I(s)，U(s)。称为复频率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：

自动控制原理三、拉氏变换的基本定理1.线性定理：2.延迟定理：f(t)f(t-τ)平移

自动控制原理12三、拉氏变换的基本定理3.位移定理：的反拉式变换？自动控制原理13三、拉氏变换的基本定理4.微分定理：自动控制原理14零初始条件：函数f(t)及其各阶导数的初始值都等于零在零初始条件下，6.初值定理（Initialvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的初值为5.积分定理：三、拉氏变换的基本定理自动控制原理7.终值定理（Finalvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的终值为前提：sF(s)在包含虚轴的右半平面内解析（无极点）三、拉氏变换的基本定理在虚轴上有极点在右半平面上有极点以上函数不能使用终值定理自动控制原理7.终值定理（Finalvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的终值为三、拉氏变换的基本定理sF(s)在包含虚轴（原点除外）的右半平面内解析（无极点）注意：在运用终值定理前必须先判定终值定理中的条件是否都满足事实上：自动控制原理7.终值定理（Finalvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的终值为三、拉氏变换的基本定理所有极点都在复平面左半平面上可以使用终值定理求，简记为18F(s)化成下列因式分解形式：

◆F(s)中具有不同的极点时，可（留数法）展开为

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)19例2.1求的反拉氏变换将F(s)的分母因式分解为

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)例2.2求的原函数注意：利用留数法求拉式反变换的条件是

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)21例2.2求的原函数

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)22◆F(s)含有多重极点时，可展开为

其余各极点的留数确定方法与上同。

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)23例2.3求的原函数

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)24

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)自动控制原理25

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)26线性常微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微分方程的解。

五、用拉氏变换求解微分方程SolvingODEsUsingLaplaceTransform27

例2.5设线性微分方程为式中，为单位阶跃函数，初始条件为，，试求该微分方程的解。解：（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得（2）将初始条件代入上式，得

五、用拉氏变换求解微分方程（3）对式（1）进行分解：式中对Y(s)进行拉式反变换

五、用拉氏变换求解微分方程29设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量。一.建立控制系统微分方程的一般方法第二节控制系统微分方程的建立，

都是由系统的结构参数决定的系数。如果微分方程的系数都不随时间的变化而变化，称为定常系统；由线性定常集中参数元件构成的动态系统称为线性定常系统

OrdinaryDifferentialEquations，ODEs

线性定常系统微分方程的建立步骤第二步：按照信号传递的顺序，根据各变量所遵循的运动规律列写各环节的动态方程。需考虑相邻元件间的负载效应，必要时考虑做线性化处理。第一步：确定系统（或元件）的输入量、输出量。利用适当的物理定律——如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。一、建立控制系统微分方程的一般方法第三步：消去中间变量，导出只含有输入量和输出量的系统微分方程。第四步：规范、整理微分方程。输出量放在方程左侧，输入量放在方程右侧，各阶导数项的阶次按降幂排列。31

例2.6如图所示，写出RLC电路的微分方程。二阶线性微分方程解：明确输入量，

输出量各环节数学表达式消去中间变量，整理得到一、建立控制系统微分方程的一般方法例2.7已知RC滤波网络如图所示，试写出网络输入输出间的微分方程。解

该网络由两个形式相同的RC电路串联而成。在列写微分方程时，必须考虑后级电路是否对前级电路产生影响。

只有当后一环节的输入阻抗很大，对前面环节的影响可以忽略时，才可以单独地分别列写每个环节的方程。一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院在考虑负载效应的情况下，微分方程的列写步骤如下：

（1）根据基尔霍夫定律，写出下面原始方程组

（2）消去中间变量，得

一、建立控制系统微分方程的一般方法34

列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua为输入量，电动机转速ω为输出量，列写微分方程。图中R、L分别是电枢电路的电阻和电感，ML为折算到电动机上的等效负载转矩，视为干扰输入。例2.9电枢控制直流伺服电动机

电枢控制直流电动机原理图一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院解：

电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua在电枢回路中产生电枢电流ia，再由电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转距M，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下两个部分的平衡方程组成。电枢回路电压平衡方程电动机轴上的转距平衡方程

一、建立控制系统微分方程的一般方法36①ed是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压ua相反，即

ed=keω

②

ke－电势常数(V·s/rad)电枢回路电压平衡方程：一、建立控制系统微分方程的一般方法37③④-电枢电流产生的电磁转距-电动机转距系数电动机轴上的转距平衡方程：Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）一、建立控制系统微分方程的一般方法38③④ed=keω

②

①⑤⑥一、建立控制系统微分方程的一般方法⑦由⑥求出ia，代入⑤得：为方便起见，上式可以记为：一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院⑧在工程应用中，由于电枢电路电感L较小，通常忽略不计。令干扰力矩

如果电阻R和电机的转动惯量Jm都可以忽略不计，⑧可进一步简化为这样的电机可作为测速发电机来使用一、建立控制系统微分方程的一般方法41叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外单独作用时分别产生的输出之和；且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。二、线性系统的基本特性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。

线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义:可叠加性和齐次性

中国矿业大学信电学院三、非线性数学模型的线性化1．问题的提出

严格地讲，一个实际的物理系统都会含有不同程度的非线性因素，如元件的死区、传动的间隙、输出饱和等，然而许多非线性元件或系统在一定条件下可以近似地视为线性系统。2．增量方程与非线性方程的线性化

系统中所包含的有关变量的非线性函数，只要在平衡工作点附近连续，且各阶导数存在

，在平衡点附近做小范围运动时，可以将此非线性函数以其自变量偏差的形式展开为泰勒级数。

对于线性系统而言。输入输出变量相对于平衡工作点的变化增量仍满足描述系统的微分方程关系。

如果此偏差很小，则可忽略级数中此偏差的高次项，而只保留一次项，用所得到线性化方程代替原来的非线性方程，这种线性化方法叫做小偏差线性化自