数值计算方法插值法讲解课件

数值计算方法插值法讲解数值计算方法插值法讲解数值计算方法插值法讲解插值法的概念已知函数在n+1个点X0,x1,,Ⅺn上的函数值y=f(x)(i=0,1,,n),求一个简单函数y=P(x)使其满足:P(X)=yi,(i=0,1,…n)。即要求该简单函数的曲线要经过y=fx)上已知的这个n+1个0,y0),(x1y1),(Ⅺnyn),同时在其它X∈[ab]上要估计误差:R(x)=f(X)-P(X)其中P(x)为f(x)的插值函数,x0,X1,…,Ⅺn称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间,求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式,就称P(X)为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值。若P()是分段的多项式,就是分段插值。若P(x)是三角多项式,就称三角插值。为什么要插值1.在工程技术和科学研究中,有时对一个函数f(x)只能通过实验或观测的手段得到它在某个区间[a,b]上的有限个不同点上的函数值,也就是只知道一张函数表,却没有明确的表达式。2.虽然函数有明确的表达式,但由于形式复杂,不便于计算和使用,所以人们往往希望做出个既能反映函数的特性,又便于计算的简单函数P(x)去近似替代f(x)。以创业带动就业是国家基于转型期社会经济发展现实需要所提出的重大战略。大学生作为国家宝贵的人才资源，是最有优势也最有可能担负起创造就业岗位的群体。因此，推进创新创业教育，提高学生适应社会和就业创业的能力，已成为高校履行人才培养使命的最新要求。结合学校实际情况、选择适当的教育模式，是高校更好地开展创新创业教育的重要基础。我国高校创新创业教育的模式选择经过近20年的积累与发展，目前我国高校创新创业教育基本形成了以高校为主导、专家学者为牵引、课程教育为主要形式、课外活动为补充、各类创业园科技园为助推的体系。从教育内容上看，基本包括专业教育、创业课程、创业竞赛、创业培训、创业实践等。在具体实践中，由于各高校学科类型、发展定位、培养目标以及学生特点等的不同，其开展创新创业教育的模式也有所不同。部分高校将创新创业教育更深入地纳入学校人才培养的整体框架中，重视通过建立完善的课程体系来培养学生的创业意识和创业精神，构建创业所需要的能力结构，更加突出创业育人的理念。例如，上海交通大学以“三个基点”（素质教育、终身教育和创新教育）和“三个转变”（专才向通才转变、教学向教育转变、传授向学习转变）为指导思想，确定了创新、创业型人才培养体系的基本框架和基本内容。另一部分高校强调通过第一课堂和第二课堂的综合作用，着力培养学生创新的观念和意识，形成鼓励创新、崇尚创新、勇于创新的校园精神氛围和文化环境。例如，中国人民大学在第一课堂方面加大选修课比例，开设了“企业家精神”“风险投资”“创业管理”等课程，在第二课堂方面通过开展创业教育讲座、各类竞赛活动等，形成了以专业为依托，以项目和社团为组织形式的“创业教育实践群体”。还有一些高校通过积极挖掘和整合校内外市场和资源，多渠道搭建创业实习实践平台，关注从实践中提升学生的创业意识和创业能力。例如，北京航空航天大学建立了大学创业园，设立创业基金，成立了“创业管理培训学院”，与科技园和孵化器紧密联合，形成整套创业流程。分层次、有重点的创新创业教育模式：北京大学的探索一种科学的、适合的模式选择对于高校创新创业教育的推进和更好地履行服务于高校人才培养的社会使命意义重大。北京大学党委常务副书记、副校长张彦教授撰文指出，高校创业教育模式的选择一方面应根据学校类型特点，构建多元创新创业教育模式，另一方面应该立足区域经济特征，形成地域特色创新创业教育模式，同时还应该结合高校自身的阶段现状，特别是要综合考虑本校学生创新创业教育的需求、可以利用的社会资源、整合利用资源的能力，以及当地政府提供的指导和支持的实际状况，实事求是地确定适合的教育模式。就北京大学而言，抽样调查发现：北大学生中经管类、法学类和信息工程类专业学生的创业意愿较高，而人文类和医学类专业学生的创业意愿较低。同时，中间年级组学生的创业意愿明显高于低年级组和高年级组的学生。因此，学校的创新创业教育应该走一条分层次、有重点的发展道路。所谓分层次，指的是针对不同的学生群体、不同的教育阶段，提供不同的教育内容。具体来说，从低年级开始，面向所有本科生、硕士生、博士生开展创新精神和创业思维的培养，将勇于开拓进取、乐于创新求变的思想培养渗透进第一课堂的专业知识教育、第二课堂的校园文化活动以及课外实习实践，将学校精神中“常为新”的传统在知识经济时代发扬传承；在广泛开展、大力营造创新创业教育氛围的基础上，到了中间年级阶段，可以在经济、金融、工商管理等商科专业以及信息技术、软件工程等工科专业精心规划和系统开展创业课程建设，有重点地提升专业学生的创业能力和创业素质；同时，在前两者的基础上，对于个别对创业有热情、有想法、有能力、有胆识的学生，学校将其作为一类重点人群加以关注和指导，定期谈心了解情况，帮助他们参加创业大赛、申请创业基金、推荐创业导师、联络业内人脉、了解创业政策等。三个层次的教育对象范围逐步缩小，教育内容也各有侧重。所谓有重点，指的是这三个层次中的第一层次，即创新精神和创新思维的培养是基础性的，也是开展创新创业教育最为关键的环节。学校创新创业教育的重点不是关注有多少数量的学生毕业后立即创业以及能创造多少经济效益，而是针对全体学生的创新观念引领和创新思维训练，力求培养出一大批具有创新的精神品质、合理的知识结构和实用的操作技巧的创业者与潜在创业者，不仅为社会输送大批创新创业型人才，而且更在于以此开拓新的经济发展空间，为他人和社会创造就业岗位，全方位履行北京大学人才培养和社会服务的责任。可以说，学校开展分层次、有重点的创新创业教育，其原因是多方面的。首先，从国家层面讲，建设创新型国家、实施“以创业带动就业”需要一大批具有创新精神和创新能力的高素质人才，学校作为国家重点建设的公立高校，必然要以服务国家发展战略、满足社会人才需求为己任，为创新经济发展输送急需人才。其次，从学校实际情况看，作为一所综合性大学，学校学科种类齐全、学术基础深厚，理科、新型工科和医科的最新研究成果、先进的科学技术，能够切实转化成生产力，为推动经济创新发展提供技术支持，而经济、金融、管理、社会等学科门类实力雄厚，能够为各类创新创业活动提供完备的智力支持。再次，从学生群体角度，创新一直是北大精神文化中代代传承的永恒元素，乐于创新和勇于创造一直是北大学生的特点，一项针对北大学生的抽样调查研究发现，有60.99%的学生表示自己想过将来创业，在北大开展创新创业教育、推动创业实践具有良好的学生基础。基于此，学校将人才培养目标定位于“为国家和民族培养具有国际视野、在各行各业起引领作用、具有创新精神和实践能力的高素质人才”，其中就特别强调了创新精神的培养。需要指出的是，学校提倡全面开展创新创业教育，并不代表要采取整齐划一的教育模式。这是因为创业相较于一般的就业，毕竟是一种更为复杂的市场行为，承担着更多的风险与不确定性。因此，从现实角度讲，北大开展创新创业教育的重点不在于鼓励全部的学生都去创业，更在于创新精神和意识的培养，为他们将来可能进行创业打下良好的教育基础。创新创业教育需要与思想政治教育紧密结合从教育内容来讲，高校创新创业教育的重点是面向全体学生的创新精神和创新观念的培养。特定的精神和观念的培养作为思想层面的教育活动，本身也包含在高校思想政治教育的范围之中。同时，从实施过程来看，相较于思想政治教育，创新创业教育在我国高校的开展历史还很短，虽然目前很多高校都已经形成了较为系统的教育模式，但客观地说，创新创业教育的基本理念、教育方法、教学内容很大程度上是对西方发达国家过往经验的学习和借鉴，真正本土化的创新创业教育模式还有待进一步探索、实践和总结。相比之下，我国高校开展思想政治教育由来已久，其在整个高校教育过程中也具有举足轻重的地位，中共中央《关于进一步加强和改进大学生思想政治教育的意见》明确指出，要把大学生思想政治教育摆在学校各项工作的首位，贯穿于教育教学的全过程，充分发挥大学生思想政治教育主阵地、主课堂、主渠道作用。同时，各高校在长期开展思想政治教育的过程中已经建立了一套完整的、行之有效的教育体系，包括教育理念、师资队伍、教育方法、评价机制等，这些都为我们开展创新创业教育提供了宝贵的经验和资源。将适用于创新创业教育的思想政治教育内容准确传达到学生中间，有赖于充分利用高校思想政治教育已经建立的教育途径，包括充分发挥课程教学的主渠道作用、充分发掘校园文化的教育作用以及充分发挥网络平台的新阵地作用。总之要充分发挥思想政治教育的功能和优势，促进创新创业教育更好地实现教育目标。后进生时刻困扰着初级中学尤其是农村初级中学的教学，从本人十几年来的教学体会感悟到，后进生对学习产生逆反的情绪，是提高整体教学水平的一大困难.后进生的形成因素来自多个方面，有家庭的，有社会的，有智力方面的，也有非智力方面的，有先天的，也有后天的，但大部分后进生都是后天形成的.下面就数学后进生的转化工作浅谈自己的一些看法.一、以心换心，缩小与后进生的距离教师对待后进生要有一颗诚挚的心，热爱和尊重他们，这样容易激发后进生的上进心，因此，对后进生要更加注意自己的言行，亲切的眼神，热情的语言，和蔼的态度，用自己的热情点燃他们学习数学的信心，使他们从老师的情感中吸取向上的力量，让他们觉得自己是有能力的；与学生进行思想交流，建立情感与友谊，使其喜欢数学老师，进而喜欢数学，爱上数学，让他们看到自己的价值，积极投入到学习中去，增强学习的信心和勇气，发挥学习的主动性，激发学习数学的热情，产生学习数学的浓厚兴趣.二、注重培养后进生对数学学习的兴趣，激发他们的学习积极性1.数学是一门具有科学性、严密性的抽象性的学科.正是由于它的抽象性，造成了后进生形成的主要原因.因此，教学时，应加强教学的直观性.像物理、化学一样，通过直观性使学生理解概念、性质.例如：在讲“三角形任意两边的和大于第三边”时，我们可以通过几组不同长度的三条铁丝，通过学生自己动手，问：哪几组铁丝可以组成三角形？能组成三角形的三条铁丝之间有何关系？从而引导出上述性质.因此，加强直观教学可以吸引后进生的注意力.2.应加强教学语言的艺术应用，让教学生动、有趣.课堂教学中教师不仅要随时观察全班学生的学习情绪，更要特别注意观察后进生的学习情绪，后进生往往上课思想开小差、不集中，他们对教师按部就班式、用枯燥无味的语言讲课听不进耳，对数学知识也不感兴趣.这时，教师应恰当运用艺术性的教学语言来活跃课堂气氛，引导每名学生进入积极思维状态，从而达到教学目的.3.注重情感教育：后进生的情感都较丰富，他们需要教师对他们多关心、多爱护，当他们有所成绩时，需要教师的鼓励和肯定，应该及时予以表扬.只要后进生接受教师，那就会极大地调动他们学习的积极性，从而达到自主学习的目的.所以，在实际教学中，教师在学生中不仅要注意自己的形象，为人师表，而且要注意对后进生实行情感方面的教育，充分肯定后进生的优点，肯定他们的微小进步，促使他们积极主动地学习.三、培养学生自觉学习的良好习惯，传授正确的学习方法，提高他们的解题能力1.教师在布置作业时，要注意难易程度，要注意加强对后进生的辅导、转化，督促他们认真完成布置的作业.对作业做得较好或作业有所进步的后进生，要及时给予表扬鼓励.教师要注意克服急躁冒进的情绪，如对后进生加大、加重作业量的做法.对待后进生，要放低要求，采取循序渐进的原则，谆谆诱导的方法，从起点开始，耐心地辅导他们一点一滴地补习功课，让他们逐步提高.2.大部分后进生学习被动，依赖性强，往往对数学概念、公式、定理、法则死记硬背，不愿动脑筋，一遇到问题就问老师，甚至扔在一边不管.教师在解答问题时，也要注意启发式教学方式的应用，逐步让他们自己动脑，引导他们分析问题、解答问题，不要给他们现成答案，要随时纠正他们在分析解答中出现的错误，逐步培养他们独立完成作业的习惯.3.应该用辩证的观点教育后进生，对后进生不仅要关心爱护和耐心细致地辅导，而且要与严格要求相结合，不少后进生之所以成为后进生，一个很重要的原因就是因为学习意志不强，生活懒惰，上课迟到或逃学，自习课不来，上课思想经常不集中、开小差，作业不及时完成或抄袭，根本没有预习、复习等习惯.因此教师要特别注意检查后进生的作业完成情况，在教学过程中，要对他们提出严格的要求，督促他们认真学习.四、改变传统的评价模式，增强后进生学习动力评价结果要采用定性与定量相结合的方式呈现，评价结果有利于学生树立学习数学的自信心，促进学生的进一步发展.我们可以从以下几个方面评价：（1）上课认真听讲，注意力高度集中.（2）勤于动脑、动口、动手，举手回答问题是否积极主动.（3）愿意与老师和同学合作交流，探索、讨论问题，发表自己的不同意见和看法.（4）作业书写工整、正确.（5）分小组活动讨论积极主动.（6）能够独立思考并获得解决问题的思路，独立完成作业.对于考试，要认真把好考试关，注意培养后进生的自信心和自尊心.要有意识地出一些较易的题目，培养他们的信心，让他们尝到甜头，使他们意识到自己也是可以学好的.在考试前应对学生提出明确、具体的要求，对后进生的知识薄弱点进行个别辅导，这样还可使有些后进生经过努力也有得较高分的机会，让他们有成就感，逐步改变他们头脑中在学习上总是比别人差一等的印象，从而培养他们的自信心和自尊心，激励他们积极争取，努力向上，从而达到转化后进生的目的.诚然，在后进生转化过程中，师生均要树立信心，不要奢望一周、一月就能彻底扭转局面，学好数学.古人云：“不积跬步无以至千里，不积小河无以成大江.”学习也是一样的，后进生之所以学习不好就是没有脚踏实地，一步一个脚印地学，他们这边失一个数学概念，那边丢一个定理、公式，从而越来越跟不上，越来越厌烦学习，也就越来越差.但只要教师在实际教学中认真、细心地引导培养，那么我们的付出定会得到回报.插值法的概念已知函数在n+1个点X0,x1,,Ⅺn上的函数值y=f(x)(i=0,1,,n),求一个简单函数y=P(x)使其满足:P(X)=yi,(i=0,1,…n)。即要求该简单函数的曲线要经过y=fx)上已知的这个n+1个0,y0),(x1y1),(Ⅺnyn),同时在其它X∈[ab]上要估计误差:R(x)=f(X)-P(X)其中P(x)为f(x)的插值函数,x0,X1,…,Ⅺn称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间,求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式,就称P(X)为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值。若P()是分段的多项式,就是分段插值。若P(x)是三角多项式,就称三角插值。为什么要插值1.在工程技术和科学研究中,有时对一个函数f(x)只能通过实验或观测的手段得到它在某个区间[a,b]上的有限个不同点上的函数值,也就是只知道一张函数表,却没有明确的表达式。2.虽然函数有明确的表达式,但由于形式复杂,不便于计算和使用,所以人们往往希望做出个既能反映函数的特性,又便于计算的简单函数P(x)去近似替代f(x)。问题的提出插值问题的数学提法:已知函数y=f(x)在n+1个点xn,x1…,x上的函数值y2=f(x),(i=0,…,n),求一个多项式y=P(x),使其满足P(x)=y,(i=0,1,…,n)即要求该多项式的函数曲线要经过y=f(x)上已知的n+1个点(x,y),(x,y1),…(x,y),同时