课件大一下线代

1一、线性相关与线性无关的概念第二节

向量组的线性相关性定义给定向量组A

:a

1

,a

2,,a

m，如果存在不全为零的数k1

,k2

,,km，使k1a

1

+

k2a

2+

+

kma

m

=

0,则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关.说明说向量组a

1

,a

2

,,a

m

线性相关，通常是指m

‡2的情形，但上述定义也适用m

=1的情形：当m

=1时，向量组只含一个向量.向量组a

，当a

=0

时是线性相关的，当a

„0

时是线性无关的.向量组a

1

,a

2

,,a

m

线性无关，就是不存在不全为零的数k1

,

k2

,,

km，使k1a

1

+

k2a

2+

+

kma

m

=

0,换句话说：若向量组a

1

,a

2

,,a

m

线性无关，且k1a

1

+

k2a

2+

+

kma

m

=

0,则k1

=k2

=

=km

=0.零向量可以是任何向量组的线性组合：0

=

0

a

1

+

0

a

2+

+

0

a

m如果组合系数可以不全为零，则a

1

,a

2

,,a

m

线性相关；如果组合系数必须全为零，则a

1

,a

2

,,a

m线性无关.若向量组a

1

,a

2

,,a

m

线性相关，则存在不全为零的数

k1

,

k2

,,

km

，使

k1a

1

+

k2a

2+

+

kma

m

=

0,12221mk1k1k

km不妨设

k

„

0

，则有

a=a

-

-

a

.所以，若向量组a

1

,a

2

,,a

m

线性相关，则a

1

,a

2

,,a

m

中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示.此结论反之也成立：若向量组a

1

,a

2

,,a

m

中某个向量能有其余m-1个向量线性表示，则向量组a

1

,a

2

,,am

线性相关.存在不全为零的数k1

,k2

,,km，使k1a

1

+

k2a

2+

+

kma

m

=

0,就是方程组

x1a

1

+

x2a

2+

+

xma

m

=

0

有非零解.3二、线性相关与齐次方程组的联系4向量组a

1

,a

2

,,a

m线性相关 齐次线性方程组x1a

1

+

x2a

2+

+

xma

m

=

0有非零解.向量组a

1

,a

2

,,a

m线性无关 齐次线性方程组x1a

1

+

x2a

2+

+

xma

m

=

0只有零解.三、线性相关与线性无关的判定5定理4是它所构成的矩阵A

=(a

1

,a

2

,,a

m

)的秩小于向量个数m，即R(A)<m

；向量组a

1

,a

2

,,a

m

线性无关的充要条件是它所构成的矩阵的秩等于向量个数m，即R(A)=m

.向量组a

1

,a

2

,,a

m

线性相关的充要条件例题讲解例5

试讨论

n维单位坐标向量组的线性相关性.解析：此例题的目的是运用定理4，给出单位坐标向量组的线性相关性.n维单位坐标向量组e1

,e2

,,en

,它所构成的矩阵是n阶单位矩阵E

=

(e1

,

e2

,,

en

)由E

=

1

„

0,6知

R(

E

)

=

n,

所以n维单位坐标向量组线性无关.例6

已知

2

0

1

5

7

1a

1

=

1,a

2

=

2

,a

3

=

4

,试讨论向量组a

1

,a

2

,a

3

及向量组a

1

,a

2的线性相关性.证

析：此题是一个具体问题，根据定理4，需要计算R(a

1

,a

2

,a

3

)和

R(a

1

,a

2

).3

123

2r

-

5r7

1

7

1

0

2(a

1

,a

2

,a

3

)=

1

25

r

‚

2

r

-

r

2

14

r

-

r

0

00

5

01

1

0

2

1

0

22

2

0

15

0由此可见

R(a

1

,a

2

,a

3

)

=

2,

R(a

1

,a

2

)

=

2,

所以a

1

,a

2

,a

3

线性相关；a

1

,a

2

线性无关.例题讲解例78已知向量组a

1

,a

2

,a

3

线性无关，b1

=a

1

+a

2

,b2

=a

2

+a

3

,b3

=a

3

+a

1

,试证向量组b1

,b2

,b3线性无关.证 析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无关的向量组A的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组

B的线性相关性.

因

A组向量没有具体给出它们的分量，故不能具体计算出B组向量，也就无从通过初等行变换等方法求B组的秩，进而判定它是否线性相关.

对于这一类未给出分量数值的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有一般意义.例题讲解证一

设有

x1

,

x2

,

x3

使x1

b1

+

x2

b

2+

x3

b3

=

0,即x1

(a

1

+a

2

)

+

x2

(a

2

+a

3

)

+

x3

(a

3

+a

1

)

=

0,亦即(

x1

+

x3

)a

1

+

(

x1

+

x2

)a

2

+

(

x2

+

x3

)a

3

=

0,

2

31

2

x

+

x

=

0.

x

+

x

=

0,因a

1

,a

2

,a

3

线性无关，故有

x1

+

x3

=

0,1

0

1由于此方程组的系数行列式

1

10

1

190

=

2

„

0,例题讲解故方程组只有零解

x1

=

x2

=

x3

=

0

，所以向量组b1

,b2

,b3

线性无关.例题讲解证二b1

=

a

1

+a

2

,

b2

=

a

2

+a

3

,

b3

=

a

3

+a

1

,1

2

31

21

0

(b

,

b

,

b

)=

(a

,a

,a

3

)

1

1

0

1

1

0

,1

B

=

AK

.设Bx

=0,即有

A(

Kx)

=

0,

因为矩阵

A的列向量组线性无关，所以可推知Kx

=0.又因

K

=

2

„

0,知方程组Kx

=

0只有零解x

=

0.所以矩阵B

的列向量组b1

,b2

,b3

线性无关.10例题讲解证三b1

=

a

1

+a

2

,

b2

=

a

2

+a

3

,

b3

=

a

3

+a

1

,1

2

31

21

0

(b

,

b

,

b

)=

(a

,a

,a

3

)

1

1

0

1

1

0

,1

B

=

AK

.因为

K

=

2

„

0,

可知

K可逆，因此

A与

B列等价，从而有

R(

A)

=

R(B).又矩阵A

的列向量组线性无关，所以R(A)=3,11因而R(B)=3,所以矩阵B

的列向量组b1

,b2

,b3

线性无关.（由定理4）（由定理4）四、向量组线性相关性的其它重要结论12向量组a

1

,a

2

,,a

m

(m‡2)线性相关的充要条件是存在某个向量a

j

(1

£

j

£

m

)，使a

j能由其余

m

-1个向量线性表示.（定理5）若向量组a

1

,a

2

,,a

s

线性相关，则向量组a

1

,a

2

,,a

s

,a

s

+1

,,a

m也线性相关.m个n

维向量组成的向量组，当m

>n时一定线性相关.设向量组A

:a

1

,a

2

,,a

s

线性无关，而向量组a

1

,a

2

,,a

s

,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的.说明结论1表明线性相关的向量组中的向量不是“独