高中数学-两角和与差的余弦教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计教材分析是三角函数定义、诱导公式等知识的延伸，也是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式等知识的基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简求值问题的解决有重要支撑作用。其中，两角和与差的余弦公式的探索和证明是本节的重点和难点。作为第一节课，引导学生通过合作、交流、探索并推导两角差的余弦公式是本节课的重点，为后续的恒等变换学习打下良好的基础。学情分析本课时面对的是高一的学生，学生在学习本节课之前，已学习了三角函数的定义、诱导公式、三角函数的图象与性质等知识，为本节课的学习建立了良好的知识基础，因此借助诱导公式的两角和与差的特殊形式进行引入，为学生学习任意角的两角差的余弦公式做了很好的铺垫。同时，高一的学生数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对未知世界的探索有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处于初期，需要进一步提高。在本节课中分析两角差的余弦公式的证明思路和方法时，通过引导学生思考单位圆，在单位圆中表示点坐标，然后可以通过学生自己合作探究得到其中的关系，留给学生一定的时间去思考，教师只需要做适当的点拨。教学目标知识与技能目标：掌握点到直线的距离公式，了解和差公式的推导过程并能够从正反两个方面解决简单应用问题。方法与过程目标：培养学生自主探究的意识和解决问题的能力。情感态度与价值观目标：通过探究深化对知识的理解和掌握，引导学生主动参与，激发学习兴趣和欲望，给学生创造学习的机会。4、学习方法自主学习法，合作学习法，探究学习法，练习法5、教学过程教师活动学生活动设计意图一、引入新知教师：在同学们初中阶段的学习中，我们借助直角三角形学习了特殊锐角的三角函数，知道了某些特殊锐角的三角函数值，比如等。随着对角的概念进行推广，我们学习了任意角的三角函数的定义，随着对定义的探索和研究，我们又学习了同角三角函数关系式，诱导公式，以及三角函数的图象和性质等相关知识，其中诱导公式的应用非常常见，我们不难发现，对于这样形式的复角来说，它们的余弦值与的三角函数值之间有着密切的关系，将它进一步推广一下，用替换这里的特殊角，那么对于这样的和角或差角而言，它们的三角函数值是否也与角的三角函数值有关呢？这就是我们本节课所要探究的内容。(板书课题)学生观看PPT上流程图，复习回顾并梳理所学知识。从学生已有的知识入手，通过复习定义和诱导公式等知识，从特殊角到任意角，符合学生的认知规律也有利于学生构造知识体系。同时，强调定义也可以加强学生对定义的认识。新知探究问题一：如何求解？能否直接求解，如果不能，它可能等于什么?问题二：能不能说？小组讨论一下师：通过讨论我们可以得到这个式子不是一个恒成立的式子，但事实上也存在着某对特殊的角度使这个式子成立，请同学们课后回去找一找有没有使之成立的角度。师：与之间到底有怎样的关系呢？我们在探究一般性结论时通常采取什么样的方法啊？请同学们通过这一组表格来猜想他们具有怎样的关系。师：我们通过两组特殊值猜想了一下两角差的余弦公式，但有同学认为两组值不太能够说明，因此我们再用几何画板来验证几组数值试一试。（几何画板验证）概念形成师：请同学们观察一下所猜想的式子，这个式子中包含了哪几个角？包含了哪几个三角函数值?师：如何通过我们现阶段所学知识，表示出角和三角函数值呢？小组活动并讨论如何表示角以及角的三角函数值，教师巡视并观察学生所出现的问题。对小组讨论进行反馈。师：有了两角差的余弦公式，能不能得到两角和的余弦公式呢？师：观察两个公式，你能从两个公式中发现它结构特征的相同点和不同点么？师生共议总结为：同名异号。同时需要注意公式中的角都为任意角。四、巩固练习师：利用两角和与差的余弦公式，我们可以解决我们之前学习中无法解决的问题，如非特殊角的三角函数值，你能求出cos15°，cos75°的值么？除了公式的正用，公式的逆用也非常重要。例题二：师：找学生上投屏讲解，并及时反馈出题目中的易错点和解题规范。例题三：已知,,,是第三象限角，求生：学生交流讨论。生:通过交流，带特殊值的方法，可以发现(其他特殊值例子均可）生：从特殊到一般：（也有学生说出对于第一行存在着关系式：，此时引导学生找寻第二行的关系，探究是否满足与第一行同样的关系）生：正弦余弦值。生：利用单位圆表示。学生展示讨论结果：生：在直角坐标系中,以轴为始边分别作角终边分别与单位圆交于A,B,则表示为，学生做出新的角构造出令新的交点为D。生：要证明这个式子要找到其中的等量关系,可以看出线段BD和线段AC长度相等。可以利用两点间距离公式。表示并化简。生：生：都是余弦余弦相乘，正弦和正弦相乘，其次符号是相反的。生：生：做题展示做法生：做题，展示做法引导学生思考，证明不成立的结论时可以采用举反例的方法。同时明确索要研究的问题，尽量具体化，激发学生的研究兴趣，通过问题引导学生的思考方向。通过学生的自主探究猜想得到结论，培养学生思考和表达的能力，体会“由特殊到一半的数学思想方法。以学生的探索活动为主线，突出了学生的主体地位，使学生通过自主推导公式提高思维水平及分析问题解决问题的能力。在研究过程中也培养了学生的探索精神和团结合作的能力。自主总结公式的结构特征，加强公式的记忆。回扣刚才的引入，再次启发学生将非特殊角转化为特殊角进行求值。分别通过正用和逆用两类题目巩固新知。通过对不同例题的解答，师生合作，学生进一步归纳出在解决问题时需要注意问题，加深对公式的记忆和理解。五、反思总结，作业布置。1、归纳推导公式时所用到的数学思想方法：数形结合，从特殊到一般等。2、归纳解决问题中用到的一般方法寻找题目之间的联系。由学生谈体会。师生合作小结能够进一步归纳出过程与方法，让学生对自主学习过程有深刻的感受和多方面的收获。作业布置课本217页练习题完成教学反思本节课是典型的公式教学模式，是在学生已有的任意角三角函数的定义和诱导公式的基础上进行的，因此本节课的设计流程是“回顾引入——探究猜想——推导转化——分析记忆——应用提升——课堂小结——延申新知”它充分展示了公式教学中以学生为主体，主动探求数学知识发生、发展的过程。同时发挥教师的引导作用，在关键地方设置问题引导学生用旧知识推证新知识。在本节课中，两角差公式的证明过程是本节课的难点，如何引导学生自己去探索证明公式而不是老师牵着学生的鼻子走是本节课的一大难题。我认为在研究过程中，应该让学生自己参与到整个的探究过程中，在研究过程中，能发现哪些结论？这些结论能帮我解决什么问题？通过设置问题引导学生自己去发现、探索，再通过小组讨论和分析的方式进行学习，最终解决问题。此外，通过猜想——质疑——求证的过程，学生的思维严密性和逻辑推理性都会大大得到提高，对今后的学习生活起着至关重要的作用。通过上述反思，我发现对于一堂课，设计的关键是要把握好课程标准的前提下，依据课程标准，通过问题来帮助学生突破重难点，如何在课堂中精准发问，帮助学生拓展思路突破重难点是我在今后的课堂中要继续努力和加强的。学情分析本课时面对的是高一的学生，学生在学习本节课之前，已学习了三角函数的定义、诱导公式、三角函数的图象与性质等知识，为本节课的学习建立了良好的知识基础，因此借助诱导公式的两角和与差的特殊形式进行引入，为学生学习任意角的两角差的余弦公式做了很好的铺垫。同时，高一的学生数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对未知世界的探索有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处于初期，需要进一步提高。在本节课中分析两角差的余弦公式的证明思路和方法时，通过引导学生思考单位圆，在单位圆中表示点坐标，然后可以通过学生自己合作探究得到其中的关系，留给学生一定的时间去思考，教师只需要做适当的点拨。效果分析本节课的教学是让学生在学习了三角函数的定义和诱导公式的基础上，探索、发现并推导两角和与差的余弦公式，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。引入环节：本节课是三角恒等变换的第一课时，本节课学习效果很大程度与后续的学习息息相关，因此设计最普通的复习导入，期望唤醒学生与之前所学习的知识的联系。同时，本节课两角差公式的验证需要借助三角函数的几何意义来理解，因此以复习导入帮助学生回顾上节课内容非常有必要。新授环节：采用从特殊到一半方法，引导学生从通过对特殊值的讨论和归纳总结，然后猜想两角差的余弦公式可能是什么形式，怎样验证。在验证过程中，引导学生借助猜想出的公式的结构特征，从角和三角函数值入手，引导学生借助单位圆以及在单位圆中点的坐标表示并进行讨论，从而构建出相等的两个角，利用两点间距离公式来化简解决问题。整个环节都是从学生的认知出发，使得学生很容易接受。练习环节：为了趁热打铁，巩固练习环节选择了三类题型，包括正向拆角求值、公式的逆用求值和三角函数给值求值的问题。这三类题型是两角和与差余弦公式这一节里比较有代表性的题目，而且每一类题型都有独特的解题思路。学生通过做题体会题目中的相同与不同，再次对公式的结构特征加深了印象。最后的巩固提升环节，教师又通过抛出新问题，引入新的研究话题，引起学生的思考。总体来说，这节课的课堂效果较好。数学研究本就是一种创造性的劳动，学生在学习中锻炼了逻辑推理能力和数学运算能力。“让学生学会求知”比让学生掌握知识本身更为重要。教材分析本节课是人教A版数学必修一第五章第五节第一课时的内容，是本章的重要内容，是三角函数定义、诱导公式等知识的延伸，也是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式等知识的基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简求值问题的解决有重要支撑作用。其中，两角和与差的余弦公式的探索和证明是本节的重点和难点。作为第一节课，引导学生通过合作、交流、探索并推导两角差的余弦公式是本节课的重点，为后续的恒等变换学习打下良好的基础。评测练习1.利用公式证明：（1）；（2）2.利用公式求的值.3..4..5..6.已知，求的值.7.已知是第二象限角，，求的值.8.已知，求的值.9.已知，求的值.10.已知为锐角，且，求的值.课后反思本节课是典型的公式教学模式，是在学生已有的任意角三角函数的定义和诱导公式的基础上进行的，因此本节课的设计流程是“回顾引入——探究猜想——推导转化——分析记忆——应用提升——课堂小结——延申新知”它充分展示了公式教学中以学生为主体，主动探求数学知识发生、发展的过程。同时发挥教师的引导作用，在关键地方设置问题引导学生用旧知识推证新知识。在本节课中，两角差公式的证明过程是本节课的难点，如何引导学生自己去探索证明公式而不是老师牵着学生的鼻子走是本节课的一大难题。我认为在研究过程中，应该让学生自己参与到整个的探究过程中，在研究过程中，能发现哪些结论？这些结论能帮我解决什么问题？通过设置问题引导学生自己去发现、探索，再通过小组讨论和分析的方式进行学习，最终解决问题。此外，通过猜想——质疑——求证的过程，学生的思维严密性和逻辑推理性都会大大得到提高，对今后的学习生活起着至关重要的作用。通过上述反思，我发现对于一堂课，设计的关键是要把握好课程标准的前提下，依据课程标准，通过问题来帮助学生突破重难点，如何在课堂中精准发问，帮助学生拓展思路突破重难点是我在今后的课堂中要继续努力和加强的。课标分析课标要求：经历两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；能从两角差余弦公式推导出两角和余弦公式，了解他们的内在联系；能利用两角和与差的余弦公式进行简单的恒等变换。课程定位：本节课是任意角三角函数和诱导公式等知识的延申，同时又是后面三角恒等变换的基础，对于三角变换，化简求值和恒等式证明问题的解决具有重要支撑作用，起承上启下的作用。三、基