2022-2023学年浙江省宁波市奉化区高一（下）期末数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年浙江省宁波市奉化区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量a=(2,3)，A.(3,5) B.(−52.复数z=ai+A.a≠0且b=0 B.b=0 C.3.水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正△A′BA.3 B.23 C.4.某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则该产品都不是合格品的概率为A.2% B.30% C.72%5.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊥n，n//α，则m⊥α B.若m//β，β⊥α，则m⊥α

C.6.若数据x1+m、x2+m、⋯、xn+m的平均数是5，方差是4，数据3x1+1、A.m=2，s=6 B.m=2，s=36 C.7.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c−b=2bA.(−∞,22] B.8.e1,e2均为单位向量，且它们的夹角为45°，设a,b满足A.2 B.22 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若复数z=3−A.z在复平面内对应的点位于第四象限 B.|z|=4

C.z210.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在35～75μg/m3，空气质量为二级：PM2.5日均值超过75A.这10天的日均值的80%分位数为60

B.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差

C.这10天的日均值的中位数为41

D.前5天的日均值的方差小于后511.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosAA.△ABC为钝角三角形 B.C为最大的内角

C.a：b：c=4：5：6 D.A：B：12.如图，在多面体中ABDCE，BA，BC，BD两两垂直，四面体AECD是正四面体，F，A.BA=BC=BD

B.FG三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是奇数的概率是______．14.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=8，∠APB=∠

15.体积为36的三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA16.德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形ABC的边长为1，P为弧AB上的一个动点，则PA

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z=(2m2−7m+6)+(m2−m18.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且bcosA+acosB=2ccosA．19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G20.(本小题12.0分)

根据空气质量指数(AQI，为整数)的不同A[(((((级别一级二级三级四级五级(五级(现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据(每个数据均不同)，统计绘得频率分布直方图如图所示．

(1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数；

(2)若从获得的“一级”和“五级(B)”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级(B)”数据恰均被选中的概率；

(3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)21.(本小题12.0分)

如图，为测量鼓浪郑成功雕像AB的高度及景点C与F之间的距离(B,C,D,F在同一水平面善个，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线)，某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为45°，30°，30°，若∠FCB=60°22.(本小题12.0分)

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，E是A1D1的中点，F为线段BC上一点，AB=2，AA

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为向量a=(2,3)，b=(−1,−2)2.【答案】C

【解析】解：因为复数z=ai+b(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是a≠0且b=0，

又因为a=1且b=0是a3.【答案】D

【解析】解：∵△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，

且正△A′B′C′的面积为：12×2×2×32=4.【答案】A

【解析】解：设该产品都不是合格品为事件A，

则P(A)=(1−90%)5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查空间中直线、平面间的位置关系，考查空间想象力，属于基础题．

由直线、平面的位置关系逐一判断即可得解．【解答】解：对A选项，由m⊥n，n//α可得m//α或m与α相交或m⊂α，故A选项错误；

对B选项，由m//β，β⊥α可得m//α或m与α相交或m⊂α，故B选项错误；

对C选项，若m⊥α，α⊥

6.【答案】A

【解析】解：根据题意，设数据x1、x2、⋯、xn的平均数为x−，标准差为σ，

数据3x1+1、3x2+1、⋯、3xn+1的平均数是10，

则(3x1+1)+(3x2+1)+⋯+(3xn+1)n=3(x1+x2+⋯+xn)n+1=3x7.【答案】C

【解析】解：因为c−b=2bcosA，

所以sinC−sinB=2sinBcosA，

即有sinAcosB+cosAsinB−sinB=2sinBcosA，

所以sinAcosB−sinB=sinBcosA，

sinAcosB−sinBcosA=sinB，

sin(A8.【答案】C

【解析】解：设OA=a，OB=b，以e1所在直线为x轴，垂直于e1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则e1=(1,0)，e2=(22,22)，

∵|a+e2|=24，则点A(x,y)满足(x9.【答案】AD【解析】解：复数z=3−i，

则z在复平面内对应的点(3,−1)位于第四象限，故A正确；

|z|=(3)2+(−110.【答案】BD【解析】解：10个数据为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，10×0.8=8，故80%分位数为60+782=69，A选项错误．

5天的日均值的极差为41−30=11，后5天的日均值的极差为80−45=35，B选项正确．

中位数是41+4511.【答案】BC【解析】解：对A，由cosC=cos2A=2cos2A−1=18>0，得A，C均为锐角，

则sinA=1−(34)2=74，sinC=1−(18)2=378，

因为cosB=−cos(A+C)=−cosAcosC+sinAsinC=−312.【答案】AB【解析】解：对于A：由BA，BC，BD两两垂直，四面体AECD是正四面体，

可得BA2+BD2=BA2+BC2=BC2+BD2，

所以BA=BC=BD，则选项A正确．

将多面体ABDCE补形成如图所示的正方体AMEN−BCHD，

对于B：因为F，G分别为AE，CD的中点，

所以由正方体的性质可得FG//AB，故B正确．

对于C：易知BD//CH，CH∩平面ACE=C，

所以BD与平面ACE不平行，故13.【答案】23【解析】解：依题意，这三张卡片随机排序包含的所有基本事件的个数为A33=6个，

而该三位数是偶数包含A22=2个基本事件，

所以该三位数是偶数的概率是P=26=13，

14.【答案】8【解析】解：将三棱锥由PA展开，如图，

则图中∠APA1=120°，

AA1为所求，

由余弦定理可得AA15.【答案】8π【解析】解：由三棱锥P−ABC的体积为36，且PA=2，

得到V=13PA⋅12BA⋅BCsin2π3=36，

∴AB⋅BC=1，

设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r=ACsin2π316.【答案】52【解析】解：设∠PCB=θ，0≤θ≤π3，则：PA⋅(PB+PC)=(CA−CP)⋅(CB−17.【答案】解：(1)∵复数z=(m2−5m+6)+(m2−m−2)i(【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．

(2)18.【答案】解：(1)△ABC中，bcosA+acosB=2ccosA，

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，

所以sin(A+B)=2sinCc【解析】(1)利用正弦定理与三角形的内角和定理，即可求出cosA和A的值．

(2)根据平面向量的线性表示，用AB、AC表示19.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，PA⊂面PAD，

所以面PAD⊥面ABCD，而四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD，

又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，

可证得CD⊥面PAD，

因为AG⊂面PAD，

所以CD⊥AG，

因为PA=AB=4，G为PD中点，所以AG【解析】(1)由题意可证得AG⊥PD，CD⊥面PAD，进而可证得CD⊥AG，再由线面垂直的条件可证得结论；

(20.【答案】解：(1)依题意：该城市30天的AQI的平均数为：(25×2+75×5+125×9+175×7+225×4+275×3)÷30=150；

(2)一级两个数据，即为P，Q，五级(B)有3个数据，记为B，C，D，从中任选两个，PQ，PC，PD，PE，QC，QD，QE，CD，CE，DE，共有10种可能，

一级和五级(B)数据恰均被选中有PC，PD，PE，QC，QD，QE，共有【解析】(1)根据给定的条件，利用频率分布直方图求平均值的方法直接列算式进行求答；

(2)对一级和五级(B)的5个数据编号，利用列举法结合古典概型计算解答；

(3)求出经济损失S21.【答案】解：(1)由题意，∠ACB=45°，∴AB=BC

∵∠ADB=30°，∴tan30°=【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

(1)确定AB=BC，利用正切函数，可得结论；22.【答