新教材人教A版2.2基本不等式课件（40张）

2.2基本不等式第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解基本不等式

a>0,b>0).(数学抽象)2.能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.(数学运算)3.能运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小.(逻辑推理、数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均数

作为项链的质量来计算.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢?[知识点拨]知识点一:基本不等式我们称不等式

为基本不等式,其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立.名师点析

1.基本不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同不等式a2+b2≥2ab适用范围a,b∈Ra>0,b>0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数“=”成立的条件a=ba=b2.基本不等式的变形第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.基本不等式有多种变形,应用时具有很大的灵活性,既可直接应用又可变形应用.一般地,遇到和与积,平方和与积,平方和与和的平方等不等式问题时,常利用基本不等式处理.微思考(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用

分别代替不等式中的a,b,可得到什么形式?提示

得到a+b≥2.(2)我们称

为a,b的几何平均数,称

为a,b的算术平均数.如何用这两个概念描述基本不等式?提示

基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(3)当a>0,b>0时,由a2+b2≥2ab你能得到哪些变形式?知识点二:利用基本不等式求最值基本不等式与最值已知x,y都是正数.名师点析

利用基本不等式求最值的注意事项在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.例如:另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.微思考填写下面的表格:x+y101010101010101010x(x>0)123456789y(y>0)987654321xy

xy111111111x(x>0)

12345y(y>0)

x+y

根据以上表格,并结合基本不等式分析:(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?微练习已知x>0,y>0.(1)若xy=4,则x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,则xy的最大值是

.

答案

(1)4

(2)4课堂篇探究学习探究一对基本不等式的理解例1(多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(

)答案

ABC要点笔记

应用基本不等式时要注意以下三点(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.变式训练1下列结论正确的是(

)答案

B探究二利用基本不等式证明不等式反思感悟

利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.变式训练2已知a,b均为正实数.若ab=2,求证:(1)(a+b)(a3+b3)≥16;(2)(1+2a)(1+b)≥9.探究三利用基本不等式求最值例3(1)已知x>0,则

+x的最小值为(

)(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为

.

答案

(1)A

(2)4延伸探究

本例第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.

素养形成基本不等式在求解恒成立与存在性(有解)问题中的应用由于利用基本不等式与重要不等式可以求某些特定式子的最值,因此基本不等式与重要不等式可以求解一类含参数的恒成立问题与存在性问题,求解的一般思路是:若能够将参数进行分离,则分离参数后转化为最值问题求解,若不能分离参数,则直接将参数看作已知量求解.典例

(1)(2021北京海淀高一期末)对任意的正实数x,y,不等式x+4y≥恒成立,则实数m的取值范围是(

)A.{m|0<m≤4} B.{m|0<m≤2}C.{m|m≤4} D.{m|m≤2}(2)若存在实数x>0,使不等式x2-ax+1≤0成立,则实数a的取值范围是(

)A.{a|a≤2} B.{a|a≥2}C.{a|a>2} D.{a|a<2}(3)若对实数x≠0,不等式ax2+-2≥0恒成立,则正实数a的取值范围是

.

当且仅当x=4y时,等号成立,∴m≤4.故选C.(2)存在实数x>0使不等式x2-ax+1≤0成立即存在实数x>0使不等式ax≥x2+1成立.答案

(1)C

(2)B

(3){a|a≥1}

当堂检测1.下列说法中正确的个数是(

)①a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0

②a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R

③a+b≥2成立的条件是a>0,b>0

④a+b≥2成立的条件是ab>0A.1 B.2 C.3 D.0答案

B解析

根据不等式成立的条件可知只有②③正确,故选B.2.(2021安徽皖北县中联盟高一联考)已知y=x+-1(x<0),则y有(