第二章基本初等1幂函数

例1 已知函数yxn2n3(nZ)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．yn22n3≤0yn22n3为n22n3≤0，得1≤n≤3nZn0，3．n0n22n33不是偶数；n1n22n34为偶数；n1n22n30为偶数；n2n22n33不是偶数；n3n22n30为偶数；n为1，1yx0x0yx4例 已知点(22)在幂函数f(x)的图象上，点21，在幂函数g(x)的图象上 ， 4（１）（２）（３）f(x)g(x的解析式，再利用图象判断即可．f(xxm，则由题意，得22)mm2f(xx2g(xxn12)n4n2g(xx2x0f(xg(x2（1）x1x1f(xg(x（2）x1f(xg(x（3）当1x1x0f(xg(xg(xx0例 函数y(mx24xm2)4(m2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值5围是 ．Ａ．5

2)

Ｃ．

Ｄ．(1

55ymx24xm2)4m2mx1)的定义域是全体实数，可转化为mx24xm20m0且424m(m205解得m 1． 5所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时例1 已知函数f(x)x2mm3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(x)的f(x)x2mm3(mZ)为偶函数，已限定了2m2m3mZf(3f(5mf(x的解析式．解：∵f(x)2m2m3应为偶数．32m235又∵f(3)f(5)，即32m2m352m2m3，整理， 1，∴2m2m351m32mZm0m=02m2m33为奇数（舍去；当m12m2m32为偶数．m1，f(x)x2．例 已知函数f(x)x2，设函数g(x)qf[f(x)](2q1)f(x)1，问是否存在实f(x)x2g(x)qx42q1)x21．q(q0g(xxxg(xg(xqx42q1)x2qx42q (xx)(xx)[q(x2x2)(2q1)] x1x20，x2x10，要使g(x)在∞，4上是减函数， q(x2x22q10 x4x≤4x2x232q0 ∴q(x2x2)32q q(x2x22q1恒成立，则有2q1≥32qq≤1 x1，x2(4，0(x1x2)(x2x10f(x(4，0 q(x2x22q1)0 x2x232q0q(x2x232q q(x2x22q12q1≤32qq≥1 q

例3 讨论函数y(k2k)xk2k1在x0时随着x的增大其函数值的变化情况．解（1）当k2k0，即k0或k1时，y0为常函数；（2）当k22k10k22

2k

2（3）

即0k 时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小2k1（4）当

2k1

2（5）当2

即 k0时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大2k12（6）当2

，即1k1 时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小2k1例 若(m1)1(32m)1，试求实数m的取值范围m1错解（数形结合：由图１可知2mm13解得m2m3 剖析：函数yx1(x0)(∞，0(0，∞

正解（分类讨论m1（1）2mm132dm3 m1（2）2m0，m13（3）m10，m32m

23，321中的指数13例2 若(m1)3(32m)3，试求实数m的取值范围．错解（分类讨论：由图2知，m1（1）2m

1，解得1m2332mmm1（2）2m

32mmm1 ，32m

m

12， 3m23例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解激活 的思维下面再对1和2 3若(m1)232m)2mm32m0，

1≤m2332mm例 若(m1)4(32m)4，试求实数m的取值范围yx4的图象如图4．由图象知此函数在

4时，x4x4是有(m1)4