初中数学-二次函数的应用之图形面积的最值问题教学课件设计

二次函数的应用复习

图形面积的最值问题

九年级数学1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？温故知新2、如何求二次函数的最值？配方法公式法1、小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形,则矩形的最大面积是（ ）A.4cm2B.8cm2C.16cm2D.32cm2基础过关2、用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，（忽略窗框的宽度）那么这个窗户的最大透光面积是（

）A

C

2、用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，（忽略窗框的宽度）那么这个窗户的最大透光面积是（

）解：设水平窗框边长为xm则竖直窗框边长为

mx

S=x×S=x2+4x

当x==S最大=

分析：

若要求窗户的最大面积，应将面积用含某个自变量的代数式表示出来，看面积是什么函数，再求最值。所以需要引入一个适当的自变量。小结：应用二次函数解决面积最值问题的一般步骤为：①引入自变量（设一边长为x）；③根据面积公式列出表示面积的函数表达式；②用含自变量的代数式表示出其他变量；④根据二次函数图像的性质，结合自变量的取值范围，确定符合条件的最值及取得最值时自变量的值.总结归纳函数思想数形结合精讲点拨∵AE=x∴AH=1-x∴EH2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1SBx

分析：

若要判断S关于x的函数图象，应将S用含x的代数式表示出来，而正方形的面积等于边长的平方，所以考虑将正方形的边长用含x的代数式表示出来。∴EH2=AE2+AH2变式如图,在边长为1cm的正方形ABCD中,点E.F.G、H分别从点A.B.C.D同时出发,均以1cm/s的速度向点B.C.D.A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,把运动时间设为x,当运动时间为___s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是___cm2.

S=2x2-2x+1

AE=BF=CG=DH

AH=BE=CF=DG

EH=EF=FG=HG

四边形EFGH是菱形

123∠HEF=90°

四边形EFGH是正方形

真题感悟(2017泰安20）如图,在△ABC中,∠C=90∘,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为()cm2.A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2如图,在△ABC中,∠C=90∘,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为()cm2.A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2C

6设运动时间为xs则AP=x,则CQ=2x则S△CPQ=×2x×(6-x)=-x2+6x∴SPABQ

=24-（-x2+6x）SAPQB

最小=15CP=6-x而S△ABC=×6×8=24SPABQ

=x2-6x+24

当x==3时如图,在△ABC中,∠C=90∘,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为()cm2.A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2C

6S△CPQ=×2x×(6-x)S△CPQ=-x2+6x

当x==3时S△CPQ

最大=-9+18=9此时SPABQ

最小=24-9=15(1).设矩形的一边EF=xcm,那么BF边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为Scm2,当x取何值时,S的最大值是多少?三角形余料截得矩形的最大面积如图,在一个等腰直角三角形的内部作一个矩形BDEF，其中BD和BF分别在两直角边上.AC8cm8cmBDEF┐x何时面积最大ABF=8-xS=x(8-x)

=-x2+8x

当x=4时，S最大=16x88-BF8=C8m8mBDEFx

此时，BF=

4S

△ABC=

32(1).设矩形的一边EF=xcm,那么BF边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为Scm2,当x取何值时,S的最大值是多少?何时面积最大在一个直角三角形的内部作一个矩形BDEF，其中BD和BF分别在两直角边上.AC12cm8cmBDEF┐x何时面积最大ACx128-BF8=23BF=8-x

23=-x2+8x

当x=6时，23S=x（8-x）12cm8cmFBED

=4S

△ABC=48xS最大=24此时，BF=8-×6

何时面积最大Axmn-BFn=nmBF=n-x

nm=-x2+nxnmS=x（n-x）FBECmnDx

当x==,S最大S最大

=×

=

S

△ABC=BF=n-×

发现˙归纳在Rt△ABC中，当矩形的两条邻边在三角形的两条直角边上时，沿着平行于直角边的两条中位线剪下的矩形面积最大。ab矩形最大面积是△ABC面积的一半。(1).设矩形的一边EF=xcm,那么DE边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为Scm2,当x取何值时,S的最大值是多少?何时面积最大如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形DEFG，其顶点G和点D分别在两直角边上,EF在斜边上.GFED┐ACB40cm30cmxcmH┛┛

当x=25时，S最大=300MDGACBMBH=50BH=24x5024-DE24=1225S=-x2+24x

S

△ABC=6001225DE=24-x

如图，是一张三角形纸片，BC=80cm，高AM=120cm，小明想从中剪出一个一边在BC上的矩形.设GF=x，则当x为何值时，矩形面积最大？拓展˙应用x转化思想80120a发现˙归纳在△ABC中，当GF为三角形中位线时，剪下的矩形面积最大，是△ABC面积的一半。h304060o

当GF=15时

S矩形DEFG最大GD=BC=30,AB=40,∠ABC=60o当GF为多少时，矩形面积最大？何时面积最大

当x=20cm时，S1最大=300cm240cm30cmS1S2

当y=25cm时，S2最大=300cm2

S1+S2最大xyABCD

=600(cm2)

S1+S2最大=拓展˙提高AC12m8mBDEF┐何时面积最大

当EF=6时，S最大

24若将矩形改为平行四边形x当x取何值时，平行四边形的面积最大AC40m30mBDEF┐何时面积最大

当DF=25时，S最大ACBDEF何时面积最大403060o

当EF=15时

S平行四边形BDEF最大如图，△ABC中，∠ACB=90O，矩形CD1E1F1的顶点都在△ABC的边上，设矩形CD1E1F1的最大面积为S1；矩形F1D2E2F2的顶点都在△AF1E1的边上，设矩形F1D2E2F2的最大面积为S2；矩形F2D3E3F3的顶点都在△AF2E2的边上，设矩形F2D3E3F3的面积为S3；......，以此类推，若△ABC的面积为1，则S1010=_____.拓展提高S1=E1F1=E1D1=S4=S2=S3=S1=S1010=小结：应用二次函数解决面积最值问题的一般步骤为：①引入自变量（设一边长为x）；③根据面积公式列出表示面积的函数表达式；②用含自变量的代数式表示出其他变量；④根据二次函数图像的性质，结合自变量的取值范围，确定符合条件的最值及取得最值时自变量的值.函数思想数形结合课堂总结a在△ABC中，当GF为三角形中位线时，剪下的矩形面积最大，是△ABC面积的一半。h课堂总结三角形余料截得矩形的最大面积

长风破浪会有时直挂云帆济沧海

1、(2016泰安20）如图,正△

ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B

，C重合），且∠APD=60°,PD交AB

于点D．设BP=X，BD=Y，则Y关于X的函数图象大致是()C． D．A． B．C

当堂达标△PDB∽△APC

PBACDBPC=x4y4-x=14y=-x2+x60°60°60°x

y

..C． D．A． B．

分析：

若要判断y关于x的函数图象，应求出y与x之间的函数表达式。C．D．A．